Fonction de transfert

La relation objet image est une convolution dans l'espace direct. Dans l'espace de Fourier (variables $(u,v)$ ) elle devient un produit

$$\hat I(u,v)=$$Cte$$\hat O(u,v)\: T(u,v)$$

avec $T(u,v)$ la fonction de transfert qui illustre un filtrage linéaire des fréquences spatiales présentes dans l'objet $O$ . $T(u,v)$ est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle $R(\alpha ,\beta )$ . Il vient, après application du théorème de Wiener-Kinchin :

$$T(u,v)=\lambda^2 C_P(\lambda u,\lambda v)$$

avec $C_P$ l'autocorrélation de la fonction pupille définie par

$$C_P(\lambda u,\lambda v)=\iint_\infty^\infty \overline{P(x,y)}\: P(x+\lambda u,y+\lambda v)\: dx\, dy$$

Il est courant de normaliser la fonction de transfert, c'est à dire de la diviser par sa valeur à l'origine $T(0,0)$

Fréquence de coupure - Cas d'une pupille circulaire

Dans le cas d'une pupille circulaire de diamètre $D$ , la fonction $C_P(\lambda u,\lambda v)$ est l'intégrale de recouvrement de deux disques séparés d'une distance $(\lambda u,\lambda v)$ . Le calcul donne (en divisant par la valeur à l'origine)

$$T(u,v)=\frac{2}{\pi}\left[ \arccos\left(\frac{\lambda q}D\right) - \frac{\lambda q}D\sqrt{1-\left(\frac{\lambda q}D\right)^2} \right]$$

avec $q=\sqrt{u^2+v^2}$ . C'est une fonction centrosymétrique appelée parfois ``chapeau chinois''. Son graphe est représenté figure ci-dessous. Cette fonction possède une fréquence de coupure $q_c=\frac{D}{\lambda}$ au delà de laquelle elle est nulle. Toute fréquence angulaire supérieure à $q_c$ ne sera pas transmise entre l'objet et l'image (ce qui, dans l'espace direct se traduit par le fait que tout détail plus petit que l'angle $\frac\lambda D$ ne sera pas visible dans l'image).

Fonction de transfert d'une pupille circulaire de diamètre $D$ (fonction dite ``chapeau chinois''). Elle est centrosymétrique et possède une fréquence de coupure $q_c=\frac D\lambda$ .