Distributions de brillance

Soit $ {\cal S}$ une source lumineuse de centre $ O$ , et $ Oz$ la droite joignant le centre de la source à l'observateur. La source est généralement tridimensionnelle (lampe à filament, Soleil...) mais l'observateur n'est sensible qu'à sa projection $ {\cal S'}$ dans le plan perpendiculaire à $ Oz$ (ainsi le Soleil nous apparait comme un petit disque et non comme une boule). Soit $ x'Oy'$ le plan perpendiculaire à $ Oz$ .

\includegraphics{source_larg2.eps}

Distribution spatiale de brillance

Soit $ \vec r'=(x',y')$ les coordonnées d'un point $ M$ sur la source $ {\cal S'}$ , et $ ds'$ un élément de surface autour de $ M$ . On note $ d\psi=f(\vec r',t)\, ds'$ l'amplitude complexe émise par l'élément de surface $ ds'$ et $ dI=I_0(x',y')\, ds'$ l'intensité moyenne correspondante (avec $ I_0(x',y')=\vert f(\vec r',t)\vert^2$ ). La fonction $ I_0(x',y')$ a la dimension d'une intensité par unité de surface de la source. Elle est appelée distribution spatiale de brillance de la source $ {\cal S'}$ .

Distribution angulaire de brillance

On appelle $ P$ le point sur lequel se trouve l'observateur et $ D$ la distance $ OP$ . Soit $ \vec r$ le vecteur $ PM$ joignant l'observateur à un point de la source. On a $ \vec r=(x',y',D)$ . Les quantités $ \alpha=\frac{x'}{D}$ et $ \beta=\frac{x'}{D}$ représentent la direction dans laquelle est vu le point $ M$ depuis $ P$ (tangentes des angles $ \theta_x$ et $ \theta_y$ indiqués sur la figure). La quantité $ d\Omega=\frac{ds'}{D^2}=d\alpha\, d\beta$ est l'angle solide sous lequel est vu l'élément de surface $ ds'$ depuis l'observateur.

L'élément de surface $ ds'$ autour du point $ M$ émet une intensité

$\displaystyle dI=I_0(x',y')\, ds'= I_0(\alpha D, \beta D)\; D^2 \; d\alpha d\beta $

On écrira

$\displaystyle dI=O(\alpha,\beta)\; d\alpha d\beta $

La quantité $ O(\alpha,\beta)$ est appelée distribution angulaire de brillance de la source $ {\cal S'}$ . Elle est proportionnelle à $ I_0(\alpha D, \beta D)$ (distribution spatiale de brillance). et diminue comme le carré de la distance $ D^2$ . Elle représente l'intensité observée par unité d'angle solide dans une direction $ (\alpha,\beta)$

Exemples

Disque uniforme :
$\textstyle \parbox{12cm}{ \item[{Disque uniforme :}] Un disque uniforme de diam... ...ne constante) et �met dans tout l'espace une intensit� totale $K\; \pi d^2/4$.}$ \includegraphics{eps/cspat_dunif_spat.eps}

$\textstyle \parbox{12cm}{Pour calculer sa distribution {\em angulaire} de brill... ...; \prod \left(\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}{\theta_0}\right)\end{displaymath}}$ \includegraphics{eps/cspat_dunif_ang.eps}
Bien souvent, on omettra le facteur $ 1/D^2$ (on l'inclura dans la constante $ K$ ).

Fente :
Une fente de largeur $ d$ dans la direction $ x'$ et de hauteur infinie dans la direction $ y'$ a une distribution spatiale de brillance

$\displaystyle I_0(x',y')=K\: \prod \left(\frac{x'}{d}\right)$

en utilisant les mêmes notations que pour le disque. Sa distribution angulaire de brillance s'écrit

$\displaystyle O(\alpha,\beta)=\frac{K}{D^2}\; \prod \left(\frac{\alpha}{\theta_0}\right)$

avec $ \theta_0$ sa largeur angulaire.

Point-source :
Un point-source situé aux coordonnées $ (x_0,y_0)$ dans le plan $ (x'Oy')$ a une distribution spatiale de brillance

$\displaystyle I_0(x',y')=K\: \delta(x-x_0,y-y_0)$

Sa distribution angulaire de brillance s'écrit

$\displaystyle O(\alpha,\beta)=K\; \delta(\alpha-\alpha_0,\beta-\beta_0)$