Franges d'Young avec une source large

Ce paragraphe est un cas particulier simple du problème des interférences avec de la lumière provenant de sources larges. Considérons le dispositif suivant :

Une source large est placée dans un plan $(x',y',z=-D)$ . Elle éclaire un interféromètre à trous d'Young placé dans le plan $z=0$ . La source est supposée monochromatique (longueur d'onde $\lambda$ ). Les trous distants de $a$ sont alignés suivant $Ox$ . On observe les franges sur un écran placé à une distance $d$ du plan des trous.

On prendra les conventions suivantes :

• On suppose $D \gg d$ et $d\gg a$ de telle sorte que les conditions de la diffraction de Fraunhofer soient réalisées.
• On notera $M$ un point de la source (coordonnées $(x',y')$ dans le plan de la source).
• On notera $d\psi_0=f_0(x',y') dx' dy'$ l'amplitude de l'onde sphérique émise par le point $M$ . Cette onde sphérique est plane en arrivant dans le plan des trous (approximation de Fraunhofer).
• On noreta $I_0(x',y')$ et $O(\alpha,\beta)$ les distributions spatiale de angulaire brillance. On supposera dans un premier temps que ces fonctions sont symétriques (paires).
• On supposera que la source est peu étendue (support borné) et on se placera dans les conditions de l'optique paraxiale ($\alpha$ et $\beta$ s'identifient aux angles $\theta_x$ et $\theta_y$ ).

La technique de calcul de l'intensité des franges d'interférences consiste à prendre la source point par point, de calculer les franges d'Young produites par chaque point de la source, et d'intégrer sur la source. Considérons donc un point $M$ de la source. Ce point rayonne dans le demi-espace $z>-D$ une onde sphérique d'amplitude complexe (la dépendance temporelle en $e^{-i\omega t}$ est omise dans cette présentation (elle disparaitra de toutes façons dans le calcul de l'intensité)

$$df(r) = d\psi_0 \: \frac{\exp ikr}{r}$$

cette onde est plane en arrivant dans le plan $z=0$ . Elle arrive sous l'incidence oblique caractérisée par les deux cosinus directeurs $\alpha$ et $\beta$ (ici assimilables aux angles). Ainsi l'amplitude complexe dans le plan $z=0$ s'écrit

$$df_0(x,y)=K \; d\psi_0\; \exp ik (\alpha x+\beta y)$$

Le coefficient de transmission $t(x,y)$ du masque est modélisé par la somme de deux distributions $\delta$  :

$$t(x,y)=\delta(x-\frac{a}{2})\delta(y)+\delta(x+\frac{a}{2})\delta(y)$$

et l'amplitude complexe à la sortie du masque est

$$df_1(x,y)=K \; d\psi_0\; \left[e^{ik\alpha a/2}\delta(x-\frac{a}{2})+ e^{-ik\alpha a/2}\delta(x+\frac{a}{2})\right]\; \delta(y)$$

Dans le plan d'observation $z=d$ , puisque $d\gg a$ on fait l'approximation de Fraunhofer et l'on écrit l'amplitude compexe en $z=d$ comme la transformée de Fourier de celle en $z=0$  :

$$df_d(x,y)=K \; d\psi_0\; \frac{e^{ikd}}{i\lambda d}\; e^{ik\alpha... ...ambda d}\right) +e^{-ik\alpha a/2} \exp\left(i\pi \frac{a x}{\lambda d}\right)$$

ce qui s'écrit comme

$$df_d(x,y)=2 K \; f_0(x',y')\; dx' \, dy'\; \frac{e^{ikd}}{i\lambda d}\; \cos\left(\pi a \; \frac{x-\alpha d}{\lambda d}\right)$$

L'intensité produite dans le plan d'observation par l'élément de surface $ds'$ est alors égale à

$$dI(x,y)=4 \frac{\vert K\vert^2}{\lambda^2 d^2} \; I_0(x',y')\; dx'\, dy'\;\cos^2\left(\pi a \; \frac{x-\alpha d}{\lambda d}\right)$$

Soit, en fonction des directions $\alpha$ et $\beta$

$$dI(x,y)=4 \frac{\vert K\vert^2}{\lambda^2 d^2} \; O(\alpha,\beta)\; d\alpha \, d\beta\;\cos^2\left(\pi a \; \frac{x-\alpha d}{\lambda d}\right)$$

On trouve des franges d'Young dont l'origine est située en $x=\alpha d,y=0$ . Ces franges sont produites par l'élément de surface $ds'$ qui se trouve dans la direction $\alpha$ au dessus de l'axe $Ox$ . Lorsque l'on va considérer l'ensemble de la source, on sera amené à intégrer des franges d'Young décalées les une par rapport aux autres comme le schématise la figure ci-après :

L'intensité résultant de l'intégrale sur la source s'écrit, en utilisant l'identité $\cos^2 x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$ :

$$I(x,y)=2 \frac{\vert K\vert^2}{\lambda^2 d^2} \; \int\!\!\!\int O... ...\; \cos \left(2 \pi a \; \frac{x-\alpha d}{\lambda d}\right) \; d\alpha d\beta$$

une formule qui parait compliquée mais qui peut s'écrire très simplement à l'aide de la transformée de Fourier de la fonction $O(\alpha,\beta)$ si l'on utilise les identités $\hat f(0)=\int f(x) dx$ et $\cos x={\Re}$e$\;[e^{ix}]$ . Ainsi

$$I(x,y)=2 \frac{\vert K\vert^2}{\lambda^2 d^2} \; \hat O(0,0) + 2 \frac{\vert K\vert^2}{\lambda^2 d^2} \; {\Re}$$e$$\;\left[\hat O\left(\frac{a}{\lambda},0\right) \; \exp 2 i\pi \frac{ax}{\lambda d} \right]$$

On écrit $\hat O$ sous forme trigonométrique : $\hat O(u,v)=\vert\hat O(u,v)\vert \: \exp i\phi(u,v)$ . Il vient

$$I(x,y)=2 \frac{\vert K\vert^2}{\lambda^2 d^2} \; \hat O(0,0) + 2 ... ...\left(2 \pi \frac{ax}{\lambda d} +\phi\left(\frac{a}{\lambda},0\right)\right)$$

soit encore

$$I(x,y)=$$Cte$$\; \left(1+\left\vert\frac{\hat O\left(\frac{a}{\lambda},0\right)... ...\pi \frac{ax}{\lambda d}+\phi\left(\frac{a}{\lambda},0\right) \right) \right)$$

Cette intensité correspond à un système de franges de même période $\lambda d/a$ que dans le cas d'une source ponctuelle. Il y a deux différences :

• Un changement d'origine dûe à la phase de $\hat O$ . Le systême de franges est centré en
  $$x_0=-\frac{\lambda d}{2\pi a}\: \phi\left(\frac{a}{\lambda},0\right)$$
  qui disparait si la source est symétrique (diaphragme circulaire centré sur l'axe optique par exemple).
• et surtout la présence d'un terme de contraste
  $$C(a)=\frac{\left\vert\hat O(\frac{a}{\lambda},0)\right\vert}{\hat O(0,0)}$$
  qui est indépendant de la position $x$ dans le champ d'interférences, mais dépend de l'écart entre les trous.

Si l'on choisit une source symétrique ($\phi=0$ ), on observe deux phénomènes quand on fait varier l'écart entre les trous $a$ en l'augmentant à partir de $a=0$ :

1. les franges se resserrent (interfrange proportionnel à $1/a$
2. le contraste, égal à 1 pour $a=0$ , change avec $a$ (en général il diminue pour des sources classiques)

La figure ci-dessous illustre et résume ces observations dans le cas où la source observée a une distribution angulaire de brillance $O(\alpha,\beta)$ gaussienne ; la T.F. d'une gaussienne étant une gaussienne, la fonction de visibilité des franges (leur contraste) va décroitre de manière Gaussienne avec $a$ .

Illustration de la perte de contraste des franges lors d'une expérience de trous d'Young éclairés par une source large. Sur la colonne de gauche la fonction contraste $C(a)$ en fonction de la distance $a$ entre les trous. Au milieu l'aspect visuel des franges. A droite le graphe de l'intensité des franges. Les graphes correspondent à 6 écarts différents $a_1$ , $a_2$ ...des trous.