Largeur de cohérence spatiale

$\parbox{9cm}{On s'int�resse aux cas de sources de taille angulaire f... ... est mesur� dans la direction de vecteur unitaire $\vec u_1$\ ou $\vec u_2$\\ }$

Dans l'expérience de trous d'Young du paragraphe précédent, le contraste des franges est proportionnel à la fonction $\left\vert\hat O(\frac{a}{\lambda},0)\right\vert$ . Il fait intervenir la transformée de Fourier $\hat O(u,v)$ de la distribution de brillance. Or les propriétés générale de la transformation de Fourier imposent que si une fonction $f(x)$ a une largeur $\Delta x$ dans le plan direct, sa T.F. $\hat f(u)$ a une largeur $\Delta u\propto \frac{1}{\Delta x}$ dans le plan de Fourier. Cette propriété se généralise à deux variables : une fonction $f(x,y)$ de largeur $\Delta x$ dans la direction $\hat x$ et $\Delta y$ dans la direction $\hat y$ a une T.F. $\hat f(u,v)$ dont la largeur vaut $\Delta u\propto \frac{1}{\Delta x}$ dans la direction $\hat u$ et $\Delta v\propto \frac{1}{\Delta y}$ dans la direction $\hat v$ . Ainsi, si on appelle $\Delta\theta$ la largeur (diamètre angulaire) de la source $O(\alpha,\beta)$ dans la direction $\alpha$ , la fonction $\vert\hat O(u,0)\vert$ est de de largeur proportionnelle à $\frac{1}{\Delta\theta}$ et la fonction contraste $C(a)$ est de largeur proportionnelle à $\frac{\lambda}{\Delta\theta}$ : le contraste tend vers 0 lorsque $a\ge \frac{\lambda}{\Delta\theta}$ . On définira la largeur de cohérence spatiale par

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle \Lambda=\frac{\lambda}{\Delta\theta}$}}$$ (1.2)

avec $\Delta\theta$ le diamètre angulaire de la source mesuré dans la direction de la base de l'interféromètre ($\alpha$ dans notre exemple).

Physiquement, $\Lambda$ représente la distance maximale entre deux points du front d'onde pour lesquels les vibrations sont cohérentes. Et si l'on réalise une expérience de trous d'Young, on ne verra plus de franges quand la distance entre les trous devient $> \Lambda$ .

Voici quelques valeurs typiques que l'on rencontre pour $\Lambda$ en lumière visible :

Etoile Betelgeuse	$\Delta\theta=0.05$ seconde d'arc	$\Lambda=2$  m
Le Soleil	$\Delta\theta=0.5^o$	$\Lambda=57\:\mu$ m
Ampoule vue à 1 m	$\Delta\theta=4^o$	$\Lambda=6\:\mu$ m