Source ponctuelle face à un miroir

òÉÓ. 3.14: Schéma du montage optique réalisant l'interférence d'une source ponctuelle $S$ et de son image miroir $S'$ .

C'est une expérience extrèmement simple : une source ponctuelle polychromatique de spectre $F(\nu)$ (par exemple une tète de fibre optique) face à un miroir (voir figure 3.14). On appelle $S$ la source ponctuelle et $S'$ son image dans le miroir. Les interférences sont observées au point $M$ . La réflexion sur le miroir entraine un déphasage de $\pi$  : l'amplitude de l'onde provenant de $S'$ sera multipliée par $e^{i\pi}$ . On se place dans l'approximation paraxiale ($D\gg a$ et $D\gg \rho$ ).

Comme précédemment, on commence par écrire l'intensité des franges dans le cas monochromatique. La source $S$ aurait dans ce cas une amplitude complexe qui s'écrirait, dans l'approximation paraxiale :

$$\psi_S(\rho)=\frac{f_0}{D} \; e^{i k D} \; \exp\left(\frac{i \pi \rho^2}{2 D} \right)$$

Avec $f_0$ une constante. L'intensité des interférences s'écrirait

$$I_1(\rho)=I_0 \; \left( 1-\cos\left(\frac{2\pi\nu\delta}{c}\right)\right)$$

avec $I_0=\frac{\vert f_0\vert^2}{D^2}$ et $\delta= 2a \left( 1-\frac{\rho^2}{2 D^2} \right)$ la différence de marche. Le signe - devant le cosinus est dû au déphasage de $\pi$ à la réflexion.

Dans le cas polychromatique, on remplace $I_0$ par $dI_0=F(\nu)d\nu$ (intensité dans la bande de fréquences $[\nu ,\nu +d\nu ]$ ). Le calcul de l'intensité $dI$ en $M$ ne pose pas de problème (ondes sphériques dans l'approximation paraxiale). Il vient

$$dI= F(\nu)\,d\nu\: \left( 1-\cos\left(\frac{2\pi\nu\delta}{c}\right)\right)$$

En introduisant le retard $\tau=\delta/c$ , on a une fois encore affaire à la même expression que que dans le cas des trous d'Young et de l'interféromètre de Michelson (équation 3.1), au signe - du cosinus près :

$$dI(\tau)= F(\nu)\,d\nu\: \left( 1-\cos(2\pi\nu\tau)\right)$$

L'intégrale sur la fréquence permet finalement d'écrire l'intensité :

$$I(\tau)=\hat P(0)\:\left[1 -\frac{\vert\hat P(\tau)\vert}{\hat P(0)} \cos(2 \pi \nu_0\tau-\phi(\tau))\right]$$

qui fait à nouveau apparaitre le terme de contraste $C(\tau)=\frac{\vert\hat P(\tau)\vert}{\hat P(0)}$ . Prenons l'exemple du spectre du paragraphe précédent :

$$F(\nu)=F_0 \; \prod \left( \frac{\nu-\nu_0}{\Delta \nu} \right)$$

avec $\Delta \nu \ll \nu _0$ (hypothèse quasi-monochromatique). Alors

$$I(\rho)=F_0 \Delta\nu \; \left(1-\mbox{sinc}\left[2\pi a\frac{\De... ...ht] \; \cos \frac{4\pi a}{\lambda}\left[ 1-\frac{\rho^2}{2 D^2}\right] \right)$$

Cette fonction ne dépend que de $\rho$ (conséquence de la symétrie de révolution) : les franges sont des anneaux concentriques de centre $P$ . Examinons les différents termes :

• le cosinus est le terme ``frange'', il est indépendant du spectre de la lumière. C'est une fonction non périodique (terme en $\rho^2$ ), on peut cependant calculer un interfrange local $i(\rho)$ (distance entre deux maxima successifs)
  $$i(\rho)=\frac{\lambda D^2}{2 a \rho}$$
  inversement proportionnel à $\rho$ . Les franges se resserrent quand on s'éloigne du centre. L'allure de cette fonction est la suivante ; remarquer le comportement à l'origine, fonction du rapport $2a/\lambda$

  

• le sinus cardinal est un terme de contraste qui dépend de $\Delta \nu$ . C'est une fonction à support large devant l'interfrange $i(\rho)$ qui croit lentement quand on s'éloigne du centre. Les anneaux sont plus contrastés aux bord de la figure qu'au centre (celà vient du fait que la différence de marche est une fonction décroissante de $\rho$ ).

• à l'origine l'intensité vaut
  $$\begin{array}{lll} I(0) & = & \displaystyle F_0 \Delta\nu \l... ...bda} \right) \; \cos \frac{4\pi a}{\lambda} \right) \end{array}$$

  

  et présente un ``maximum'' lorsque le rapport $\frac{2a}{\lambda}$ (ordre d'interférence au centre) est un multiple demi-entier de la logueur d'onde. Demi-entier à cause du déphasage de $\pi$ à la réflexion sur le miroir. A mesure que $a$ augmente, l'intensité à l'origine diminue (influence du sinus cardinal) et devient très faible lorsque la différence de marche $2a$ dépasse la longueur de cohérence $\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}$ .

L'allure des franges d'interférence est la suivante (en noir et blanc sur la figure, mais en réalité l'oeil verra des couleurs comme pour les trous d'Young)