Spectre d'une vibration polychromatique

Définition

La lumière blanche du Soleil est composée d'une infinité de couleurs observables derrière un prisme. Chaque couleur est associée à une fréquence et une longueur d'onde et l'onde lumineuse est alors la superposition d'une infinité d'ondes monochromatiques. A chacune de ces ondes monochromatiques est associée une intensité chromatique $F(\nu)$ qui décrit l'intensité associée à l'onde de fréquence $\nu$ .

La quantité

$$dI = F(\nu) \; d\nu$$

est l'intensité comprise entre les fréquences $\nu$ et $\nu+d\nu$ (voir figure ci dessus). $F(\nu)$ est appellée spectre de la lumière, ou densité spectrale d'intensité. Elle représente une intensité par unité de fréquence et son unité MKSA est $W m^{-2} Hz^{-1}$ (bien qu'en optique, on travaille toujours à une constante près quand on calcule l'intensité). Voici quelques exemples des types de spectre que l'on peut rencontrer

Spectre du corps noir

C'est une approximation de la lumière du Soleil ou d'une lampe à filament. Le spectre est une fonction de Planck qui dépend de la température du corps émetteur

$$F(\nu)=\frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \left[ \exp\left( \frac{h \nu}{kT}\right) -1 \right]^{-1}$$

avec $T$ température du corps, $h$ constante de Planck, $k$ constante de Boltzmann, $c$ vitesse de la lumière. Pour le Soleil ($T=$ 6000 K), cette courbe présente un maximum pour la fréquence $\nu=3.5 \: 10^{14}$  Hz et possède une largeur d'environ $4. \: 10^{14}$  Hz (voir figure 3.2).

Fig. 3.1: Spectre d'un corps noir à la température $T=5760$ K (c'est celle de la photosphère du Soleil). Cette fonction modélise l'intensité émise dans chaque fréquence par une étoile comme le Soleil.

Onde monochromatique

Il n'y a qu'une fréquence $\nu _0$ dans laquelle toute l'énergie de l'onde est concentrée. Le spectre est une distribution de Dirac. On parle de raie monochromatique.

$$F(\nu)=I_0 \; \delta(\nu-\nu_0)$$

Realtion entre l'amplitude de l'onde et le spectre

On se place en un point $M$ de de coordonnées $\vec r$ . Soit une onde plane d'amplitude complexe $\psi(\vec r,t)$ . Nous noterons cette amplitude $f_r(t)=\psi(\vec r,t)$ pour faire ressortir sa dépendance temporelle. L'onde n'est pas monochromatique, mais elle peut se décomposer en intégrale de Fourier. Il vient :

$$f_r(t)=\int_{-\infty}^\infty \hat f_r(\nu)\: e^{2i\pi\nu t}\: d\nu$$

Cette écriture montre que $f_r(t)$ est une somme continue d'ondes planes monochromatiques de fréquences $\nu$ (on parle de paquet d'ondes. La quantité $d\psi=\hat f_r(\nu)\:d\nu$ est l'amplitude associée à chacune de ces ondes planes. L'intensité correspondante est $dI=\vert\hat f_r(\nu)\vert^2\:d\nu$ et fait ainsi apparaitre le spectre $F(\nu)$ . Il vient

$$F(\nu)=\vert\hat f_r(\nu)\vert^2$$

le spectre d'une onde en un point $\vec r$ est donc le module carré de la transformée de Fourier temporelle de son amplitude complexe.

Vibration quasi-monochromatique

C'est le cas de la lumière émise par les gaz excités : les photons émis lors d'une transition entre deux niveaux d'énergie séparés de $\delta E$ ont une fréquence $\nu_0=\frac{\delta E}{h}$ ($h$ est la constante de Planck) plus ou moins une quantité $\Delta \nu$ inversement proportionnelle à la durée de vie du niveau (principe d'incertitude de Heisenberg). On parle de largeur naturelle. C'est aussi le cas de la lumière émise par un gaz exité confiné dans une ampoule sous haute pression, l'effet Doppler associé à la vitesse des molécules élargit la raie d'émission du gaz. Ce peut être aussi simplement une lumière blanche qui est passée à travers un filtre coloré ou interférentiel.

Le spectre est une fonction $P(\nu)$ appelée profil de raie, centrée autour d'une fréquence $\nu _0$ et de largeur $\Delta \nu \ll \nu _0$ appelée largeur de raie ou largeur de bande. Ou encore bande passante. On écrit

$$F(\nu)=P(\nu-\nu_0)$$

Les transitions électroniques produisent des raies de profil Lorentzien avec une largeur relative $\frac{\Delta\nu}{\nu_0}\simeq 10^{-6}$ , tandis que l'effet Doppler correspond à des raies gaussiennes dont la largeur dépend de la température ( $\frac{\Delta\nu}{\nu_0}\simeq 10^{-4}$ dans le cas du Soleil).

Fig. 3.2: Spectre et profil de raie typiques d'une onde quasi-monochromatique, caractérisée par une largeur de raie $\Delta \nu \ll \nu _0$ . La fonction profil est centrée à l'origine, le spectre est centré sur une fréquence $\nu _0$ .