Temps et longueur de cohérence

On s'intéresse à une onde quasi-monochromatique dont le profil $P(\nu)$ a une largeur $\Delta \nu$ autour de la fréquence centrale ($\nu _0$ ). Le contraste $C(\tau)$ des franges est proportionnel au module $\vert\hat{P}(\tau)\vert$ de la transformée de Fourier du profil de raie : il possède alors une largeur $\Delta\tau$ qui, d'après le principe d'incertitude, doit vérifier

$$\Delta\tau\gg\frac{1}{\nu_0}$$

Dans le cas d'une onde quasi-monochromatique, le contraste est donc une fonction lentement variable devant la période des franges (figure 3.7).

Fig. 3.7: Allure du graphe de l'intensité en fonction du retard $\tau$ dans le cas d'un spectre quasi-monochromatique de largeur $\Delta \nu$ . Deux valeurs sont importantes : l'interfrange $1/\nu _0$ et la taille de l'enveloppe $\frac 1{\Delta \nu }$ .

Temps de cohérence

On appelle temps de cohérence la quantité

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle \tau_c=\frac{1}{\Delta\nu} $}}$$ (3.3)

C'est une mesure de la largeur de la fonction contraste $C(\tau)$ . Si le retard $\tau$ entre les deux fronts d'onde est grand devant $\tau_c$ alors $C(\tau)\longrightarrow 0$ et les franges disparaissent. Les deux fronts d'onde ne produisent plus d'interférence : ils sont devenus mutuellement incohérents. C'est le cas de l'exemple de la figure 3.5. L'onde perd sa capacité à interférer avec elle-même retardée d'un temps supérieur au temps de cohérence.

Longueur de cohérence

On appelle longueur de cohérence la quantité

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle L_c=c \tau_c=\frac{c}{\Delta\nu}=\frac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda} $}}$$ (3.4)

C'est la distance que parcourt l'onde à la vitesse de lumière pendant le temps $\tau_c$ . C'est une mesure de la distance maximun entre deux fronts d'onde cohérents, comme illustré sur la figure

Fig. 3.8: La longueur de cohérence d'une onde est la distance maximale entre deux fronts d'onde cohérents, c'est à dire capable d'interférer entre eux. Elle est infinie pour une onde parfaitement monochromatique.

La longueur de cohérence est un paramètre commode pour évaluer par exemple la différence de marche maximale entre les deux bras d'un interféromètre de Michelson : cette différence de marche ne devra pas excéder la longueur de cohérence.

Nombre de franges dans le champ d'interférences

Le nombre $N_f$ de franges visibles est le rapport entre la largeur de la fonction contraste et la période des franges :

$$N_f=\frac{\nu_0}{\Delta\nu}=\frac{\lambda_0}{\Delta\lambda}=\frac{L_c}{\lambda}$$

Quelques ordres de grandeur :

Source	$\lambda_0$ (nm)	$\Delta\lambda$ (nm)	$\tau_c$ (s)	$L_c$ (m)	$N_f$
Laser He-Ne	632.8	$10^{-3}$	$10^{-9}$	0.3	50 000
Raie rouge de l'hydrogène	656.2	0.1	$10^{-11}$	0.004	6500
Lumière du Soleil	500	400	$2. 10^{-15}$	$6. 10^{-7}$	1
Lumière blanche + filtre étroit	500	20	$3. 10^{-14}$	$10^{-5}$	25

On peut remarquer que toutes ces quantités sont des propriétés intrinsèques de l'onde et ne dépendent pas de l'interféromètre utilisé. Remarquons aussi qu'il est impossible d'obtenir des interférences avec la lumière blanche du Soleil (1 frange visible seulement), mais que la traversée d'un filtre permet d'augmenter le temps de cohérence en réduisant la largeur de bande.