L'onde sphérique monochromatique

Une solution particulière de l'équation de propagation concerne les ondes émises par les sources ponctuelles : les ondes sphériques dont l'image naïve est celle des ``ronds dans l'eau'' obtenus lorsqu'on lance une pierre dans l'eau. Une onde sphérique est caractérisée par la symétrie sphérique de son champ électromagnétique. Si elle est monochromatique, alors son champ électrique s'écrit

$${\cal U}(\vec r, t)=\psi(r)\; e^{-i\omega t}$$

L'équation de propagation de $\psi$ prend alors la forme

$$\Delta\psi -\frac{\omega^2}{v^2}\psi =0$$

avec le laplacien réduit à sa partie radiale qui s'écrit

$$\Delta=\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr} \right)$$

en introduisant le vecteur d'onde $k=\frac{\omega}{v}$ l'équation devient

$$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\psi}{dr} \right)-k^2 r^2 \psi=0$$

Le chamgement de variable $f(r)=r\psi(r)$ permet de se ramener à l'équation d'un oscillateur harmonique

$$f''+k^2 f=0$$

dont la solution en $\exp\pm ikr$ permet d'écrire la forme générale de l'onde sphérique

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle {\cal U}(\vec r, t)=\frac{\psi_0}{r} \; e^{i(\pm kr-\omega t)} $}}$$ (1.10)

Le signe de $kr$ dans l'exponentielle détermine la nature convergente ou divergente de l'onde :

Signe -

 

les surfaces d'onde se propagent vers $-\hat r$ , l'onde est convergente

Signe +
 

les surfaces d'onde se propagent vers $+\hat r$ , l'onde est divergente

On peut noter deux différences avec l'écriture de l'onde plane

• $kr$ au lieu $\vec k.\vec r$  : cette différence peut s'interpréter par le fait qu'en chaque point $M$ la direction de propagation de l'onde est parallèle au rayon vecteur $\vec r=\vec{SM}$ . On peut alors définir un vecteur d'onde local $\vec k=k \hat r$ dont la norme vaut $\frac{2\pi}{\lambda}$ et dont la direction est celle de la propagation au point $M$ . Il est aisé de voir que $\vec k.\vec r=kr$ .

• L'amplitude décroit comme $\frac{1}{r}$ , donc l'intensité comme $\frac{1}{r^2}$ . La puissance qui traverse des sphères centrées sur la source est alors indépendante du rayon de la sphère : c'est l'expression de la conservation de l'énergie.

Cas d'une onde sphérique dont la source n'est pas en $O$

On note $\vec r_0=(x_0,y_0,z_0)$ les coordonnées de la source (ou du point de convergence pour une onde convergente). Un simple changement de repère permet d'écrire l'amplitude complexe de l'onde sphérique dans ce cas :

$$\psi(\vec r)=\frac{\psi_0}{\vert\vec r-\vec r_0\vert } \; e^{\pm i k \vert\vec r-\vec r_0\vert}$$ (1.11)