Approximation paraxiale pour l'onde sphérique

On considère une onde shérique dont la source est en $O$ , on cherche à exprimer son amplitude complexe en un point $M$ de coordonnées $(x,y,z)$ avec la condition $\vert x\vert\ll \vert z\vert$ et $\vert y\vert\ll \vert z\vert$ (point proche de l'axe : les rayons provenant de la source sont peu inclinés en $M$ ). On supposera que l'onde est divergente (signe +) dans l'exponentielle. Il suffira de changer $k$ en $-k$ dans les expressions qui vont suivre pour une onde convergente.

L'amplitude complexe en $M$ est

$$\psi(r)=\frac{\psi_0}{r} \; e^{i kr}$$

avec $r=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}$ . Notons $\rho^2=x^2+y^2$ , on a

$$r=\vert z\vert \left(1+\frac{\rho^2}{z^2}\right)^{1/2}$$

puisque $\rho \ll \vert z\vert$ on fait un développement limité de $r$

$$r\simeq \vert z\vert \left(1+\frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{\rho^4}... ... \vert z\vert +\frac{\rho^2}{2 \vert z\vert} - \frac{\rho^4}{8 \vert z\vert^3}$$

Pour savoir à quel ordre on peut stopper le développement limité, il faut prendre des hypothèses sur les valeurs de $\rho$ , $z$ et $k$ . Prenons les valeurs $\rho=1$  cm, $z=1$  m, et $k=10^7$  m$^{-1}$ (lumière visible). Les trois termes intervenant dans le développement de $r$ valent

• terme (1) : $\vert z\vert=1$
• terme (2) : $\frac{\rho^2}{2 \vert z\vert} \; \simeq \; =5 10^{-5}$
• terme (3) : $\frac{\rho^4}{8 \vert z\vert^3} \; \simeq \; 10^{-8}$

On pourrait ainsi se contenter du premier terme en posant simplement $r=\vert z\vert$ , qui donne une erreur à la cinquième décimale. Cette approximation est suffisante pour le terme $\frac 1 r$ qui intervient devant l'exponentielle complexe. Mais pas pour le terme $e^{i kr}$ à cause de la grande valeur de $k$ et il est nécessaire, à l'intérieur de l'exponentielle, de garder les deux premiers termes (le 3e peut par contre être négligé). Ainsi, une onde sphérique dans l'approximation paraxiale s'écrira :

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle \psi(r) \simeq \frac{\psi_0}{\vert z\v... ...\; e^{i k\vert z\vert}\; \exp\left(i k\frac{\rho^2}{2 \vert z\vert} \right) $}}$$ (1.12)

Dans un plan $z=Cte$ , on voit que la phase de l'onde est en $\rho^2$ , la surface d'onde est un paraboloïde. Il s'agit du paraboloïde tangent à la sphère au point $(0,0,z)$ , on parle de paraboloïde osculateur (même courbure que la sphère), voir figure 1.2.

Fig. 1.2: Surface d'onde d'une onde sphérique et son approximation paraxiale, le paraboloïde tangent. L'écart $\Delta$ entre les deux surfaces est $\Delta \simeq \frac {\rho ^4}{8 \vert z\vert^3}$ , terme du 3e ordre du développement limité de $r$ .

A quelle distance peut on faire l'approximation paraxiale ?

Il faut que $z$ soit assez grand pour pouvoir négliger l'ordre 3 du développement limité de $kr$ , donc que

$$k \frac{\rho^4}{8 \vert z\vert^3} \ll 1$$

ce qui donne

$$z \gg \left( \frac{\rho^4}{\lambda} \right)^{1/3}$$

Avec les valeurs numériques $\rho=1$  cm et $\lambda=1 \mu$ m, on obtient la condition $z \gg 20$  cm.

Et à distance encore plus grande ?

Lorsque $z$ devient assez grand, on pourra négliger aussi le second ordre du développement limité de $kr$ . Dans ce cas l'amplitude complexe de l'onde s'écrit :

$$\psi(r) \simeq \frac{\psi_0}{\vert z\vert} \; e^{i k\vert z\vert}$$

c'est à dire une onde plane, dont les surfaces d'onde sont des sphères de rayon de courbure assez grand pour les approximer par leur plan tangent. On parle alors de champ lointain, et cette approximation de l'onde sphérique par une onde plane conduit à la diffraction de Fraunofer ou diffraction à l'infini, qui sera abordée plus loin. Celà se produit lorsque

$$k \frac{\rho^2}{2 \vert z\vert} \ll 1$$

c'est à dire

$$z \gg \frac{\rho^2}{\lambda}$$

Avec les valeurs numériques $\rho=1$  cm et $\lambda=1 \mu$ m, on obtient la condition $z \gg 100$  m.