Propagation d'une somme discrète d'ondes planes

On considère une somme discrète de $N$ ondes planes monochromatiques ayant toutes la même pulsation $\omega$ et dont les champs électriques sont parallèles. Les vecteurs d'onde seront notés $\vec{k}_n$ de composantes $\frac{2\pi}{\lambda}(\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)$ . L'amplitude complexe s'écrit :

$$\psi(x,y,z)=f_z(x,y) = \; \sum_{n=1}^{N} A_n \exp\left[ \frac{2i\pi}{\lambda}(\alpha_n x+\beta_n y+\gamma_n z)\right]$$

Nous cherchons à dégager la relation qui existe entre les valeurs de l'amplitude dans deux plans $z=0$ et $z=d$ (transformée de Fresnel de $f_0(x,y)$ sur une distance $d$ ). Nous savons écrire cette relation dans le cas d'une onde plane ; en utilisant le principe de superposition linéaire des champs électriques, il vient que l'amplitude en $z=d$ de la somme d'ondes planes est la somme des amplitudes complexes de chacune des ondes planes en $z=d$ . Nous connaissons l'expression de l'onde en $z=0$  :

$$f_0(x,y)=\sum_{n=1}^{N} A_n \exp \left[\frac{2i\pi}{\lambda}(\alpha_n x+\beta_n y)\right]$$ (1.14)

on effectue la propagation individuelle de chaque onde plane : celà consiste à multiplier chaque terme de la somme par $\exp \frac{2i\pi}{\lambda}(\gamma_n d)$ . On fait ensuite la somme pour obtenir l'expression de l'amplitude de l'onde en $z=d$  :

$$f_d(x,y)=\sum_{n=1}^{N} A_n \exp \left[\frac{2i\pi}{\lambda}(\alpha_n x+\beta_n y+\gamma_n d)\right]$$ (1.15)

$\alpha_n$ et $\beta_n$ sont connus si l'on connait $f_0(x,y)$ , $\gamma_n$ ne l'est pas mais peut être obtenu par la relation $\gamma_n=\sqrt{1-\alpha_n^2-\beta_n^2}$ .