A quelle distance est on en diffraction à l'infini ?

Prenons l'exemple d'une onde plane de longueur d'onde $\lambda=0.6\mu$ m qui traverse un petit diaphragme de rayon $d$  mm situé dans le plan $z=0$ . Nous allons déterminer la valeur de $z$ à partir de laquelle l'approximation de Fraunhofer donne une erreur faible sur la valeur de l'amplitude complexe.
Cette approximation consiste à égaler à 1 le terme

$$\exp \left(i\pi\frac{x'^2+y'^2}{\lambda z}\right)$$

présent dans la transformée de Fresnel. Au premier ordre en $x'^2+y'^2$ il vient :

$$\exp \left(i\pi\frac{x'^2+y'^2}{\lambda z}\right)\; \simeq 1 + i\pi\frac{x'^2+y'^2}{\lambda z}$$

$x'$ et $y'$ sont des variables d'intégration dans le plan du diaphragme et vérifient $x'^2+y'^2\le d^2$ . L'erreur $\epsilon$ commise dans l'approximation de Fraunhofer est donc :

$$\epsilon \simeq \frac{d^2}{\lambda z}$$

la valeur de $z$ telle que cette erreur $\epsilon \ll 1$ doit donc vérifier

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle z\gg\frac{d^2}{\lambda} $}}$$ (1.31)

Avec $a=1$  cm et $\lambda=0.5 \mu$ m, on obtient $z \gg 200$  mètres. Deux problèmes techniques se posent alors pour réaliser une ``bonne'' expérience de diffraction à l'infini :

• Un problème d'encombrement du montage optique au vu des distances nécessaires
• Un problème de luminosité, l'amplitude décroissant comme $\frac{1}{z}$ et l'intensité comme $\frac{1}{z^2}$ . Dans l'exemple ci-dessus la figure de diffraction de Fraunhofer serait $40 000$ fois moins lumineuse que l'onde dans le plan du diaphragme.

On verra par la suite que l'on peut quand même réaliser une diffraction à l'infini sur des distances raisonnables en observant dans le plan focal d'une lentille convergente.