Autre démonstration à partir du principe de Hyugens-Fresnel

Ecrivons l'expression du principe de Huyghens-Fresnel entre les amplitudes $f_0(x',y')$ et $f_z(x,y)$  :

$$f_z(x,y)\; = \; \frac{1}{i \lambda}\int\!\!\!\int f_0(x',y')\; \frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert} \; e^{ik \vert\vec{r}-\vec{r}'\vert} \; dx' dy'$$ (1.32)

où $\vec{r}=\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}$ est la position du point courant et $\vec{r}'=x'\hat{x}+y' \hat{y}$ celle d'un point dans le plan $z=0$ . Faisons tendre $z\longrightarrow\infty$ , il vient

$$\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert \; \simeq \; r-\frac{\vec{r}.\vec{r}'}{r}$$ (1.33)

c'est une onde sphérique et l'approximation peut être faite à l'ordre zéro au dénominateur. On écrit :

$$\frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert} \; \simeq \; \frac{1}{r}$$

alors que le terme intervenant dans l'exponentielle doit être développé à l'odre suivant à cause du vecteur d'onde $k$ qui peut être grand (de l'ordre de $10^7$ en lumière visible). Il vient :

$$f_\infty(x,y)\; = \; \frac{e^{ikr}}{i \lambda r}\int\!\!\!\int_{-\infty}^\infty f_0(x',y')\; e^{-ik \hat{r}.\vec{r}'} \; dx' dy'$$ (1.34)

Introduisons les coordonnées du vecteur unitaire $\hat{r}=\left\vert \begin{array}{c}\alpha\ \beta\ \gamma \end{array}\right.$ On obtient là encore l'expression d'une transformée de Fourier :

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle f_\infty(\alpha,\beta)\; = \; \frac{e^... ...da r} \; \hat{f}_0\left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda}\right) $}}$$ (1.35)