Lentille convergente

Fig. 1.10: Lentille convergente plan-convexe. L'épaisseur de verre traversée par un rayon arrivant en un point de coordonnées $ (x,y)$ dans dans le plan d'entrée de la lentille est $ e(x,y)=\frac {a^2-x^2-y^2}{2R}$ .
\includegraphics{eps/lentille.eps}
On considère le lentille plan-convexe de la figure 1.10, la face plate définissant le plan $ z=0$ . Le rayon de courbure de la face bombée est $ R$ , le diamètre de la lentille est $ 2a$ . On suppose $ 2a\ll R$ et on note $ n$ l'indice du verre composant le lentille.

Un point $ M$ appartenant à la surface bombée possède des coordonnées qui vérifient l'équation de la sphère. Le centre de la sphère se trouve en

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x_s=0\\ y_s=0\\ z_s=e(0,0)-R=e_0-R \end{array}\right. \end{displaymath}

et l'équation de la sphère s'écrit :

$\displaystyle x^2+y^2+(z-z_s)^2=R^2$ (1.48)

soit

$\displaystyle z-z_s=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\; \simeq \; R-\frac{x^2+y^2}{2R}$ (1.49)

donc

$\displaystyle z=e_0-\frac{x^2+y^2}{2R}$ (1.50)

et pour trouver $ e_0$ on peut remarquer que lorsque $ x^2+y^2=a^2$ l'épaisseur de verre traversée est nulle (on se trouve au bord de la lentille) ; il vient:

$\displaystyle e_0=\frac{a^2}{2R}$ (1.51)

la fonction épaisseur $ e(x,y)$ est égale à la coordonnée $ z$ du point $ M$ , d'où le coefficient de transmission de la lentille convergente :

$\displaystyle t(x,y)=e^{\frac{i\pi a^2 (n-1)}{\lambda R}}\; \exp\left[-\frac{i\pi (x^2+y^2)}{\lambda R} (n-1) \right]$ (1.52)

Le terme constant dépendant de $ a$ traduit le déphasage que subit le rayon passant par l'axe optique à la traversée de la lentille. Souvent on omettra ce terme constant, pour écrire le coefficient de transmission de la lentille convergente comme suit

$\displaystyle \mbox{\fbox{$\displaystyle t(x,y)=\exp\left[-\frac{i\pi (x^2+y^2)}{\lambda R} (n-1) \right] $}}$ (1.53)

C'est l'amplitude d'une onde sphérique convergente (signe - dans l'exponentielle) dont le centre se trouve en

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x_c=0\ y_c=0\ z_c=\frac{R}{n-1} \end{array} \right.$ (1.54)

La distance focale de la lentille est $ F=\frac{R}{n-1}$ . Le nombre $ C=\frac{n-1}{R}$ est appelé convergence ou vergence de la lentille. Celle-ci a ainsi pour effet de transformer une onde plane en onde sphérique.

Le coefficient de transmission associé à une lentille divergente est obtenu en changeant simplement le signe - par un signe + dans l'équation 1.53. On obtient alors une onde sphérique divergente de focale négative $ F=-\frac{R}{n-1}$ .