Fente rectangulaire

Soit une fente rectangulaire de largeur $a$ dans la direction $x$ et $b$ dans la direction $y$ . Cette fente est éclairée sous incidence normale par une onde plane de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $\psi_0$ dans le plan de la fente. On note $f_0(x,y)$ l'amplitude de l'onde à la sortie de la fente et $t(x,y)$ son coefficient de transmission. On a

$$f_0(x,y)=\psi_0\; t(x,y)$$ (1.56)

avec

$$t(x,y)=\prod\left(\frac{x}{a} \right) \;\prod\left(\frac{y}{b} \right)$$

Figure de diffraction de Fraunhofer

L'amplitude observée à une distance $r$ dans une direction $(\alpha,\beta)$ s'écrit :

$$f_\infty (\alpha,\beta)=\frac{e^{ikr}}{i\lambda r} \; \psi_0 \; \hat{t} \left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda} \right)$$ (1.57)

avec

$$\hat{t}(u,v)=a b\;$$   sinc$$(\pi u a) \;$$   sinc$$(\pi v b)$$

la définition du sinus cardinal est ici

   sinc$$\; x \: = \: \frac{\sin x}{x}$$

l'amplitude s'écrit alors

$$f_\infty (\alpha,\beta)=\frac{a b \; \psi_0 e^{ikr}}{i\lambda r} \;$$   sinc$$\left(\pi \frac{\alpha a}{\lambda} \right) \;$$   sinc$$\left(\pi \frac{\beta b}{\lambda} \right)$$

et l'intensité

$$I (\alpha,\beta)=\frac{a^2 b^2 \vert\psi_0\vert^2}{\lambda^2 r^2} \;$$   sinc$$^2 \left(\pi \frac{\alpha a}{\lambda} \right) \;$$   sinc$$^2 \left(\pi \frac{\beta b}{\lambda} \right)$$

Cette fonction est représentée figure 1.12. Il est très facile de l'observer lorsqu'on dispose d'un petit laser en regardant sur un écran placé à quelques dizaines de centimètres de la fente. C'est une fonction qui est maximum en $(\alpha,\beta)=(0,0)$ , qui présente un lobe principal entouré de pics secondaires situés en $(\alpha,\beta)=((n+\frac{1}{2})\frac{\lambda}{a}, (m+\frac{1}{2})\frac{\lambda}{b})$ . Pour une fente beaucoup plus haute que large, l'aspect de l'intensité est celui d'une ligne pointillée.

òÉÓ.: Figure de diffraction d'une fente rectangulaire. L'intensité diffractée est décrite par une fonction sinus cardinal carré dans les deux sens (voir le texte). (a) Fente ; (b) Figure de diffraction (intensité) ; (c) Figure de diffraction d'une fente plus fine ; (d) Graphe de la fonction sinc $\mbox{sinc}^2(\pi x)$ ; (e) Zoom de la courbe (d).

Les positions et valeurs des maxima et minima secondaires dans la direction $\alpha$ associée à la variable $x$ dans laquelle la taille de la fente est $a$ , sont donnés dans le tableau suivant :

	$\alpha$	$I(\alpha,0)/I(0,0)$
1er zéro	$\lambda/a$	0
1er maximum secondaire	1.5 $\lambda/a$	0.045
2e zéro	2 $\lambda/a$	0
2e maximum secondaire	2.5 $\lambda/a$	0.016
3e zéro	3 $\lambda/a$	0
3e maximum secondaire	3.5 $\lambda/a$	0.008

Taille du lobe principal

Il est donné par la première annulation du sinc. Pour une fente de largeur $a=0.1$  mm éclairée à la longueur d'onde $0.6 \mu$ m, la taille $\Delta\alpha$ de ce lobe est

$$\Delta\alpha=\frac{2\lambda}{a}=0.012$$

ce qui donne un angle de 0.7 degrés. On se trouve dans le cadre de l'optique paraxiale.

Energie contenue dans le lobe principal

Le pourcentage d'intensité lumineuse contenue dans le pic principal est donné par le rapport des intégrales

$$r=\frac{\int_{\alpha=-\frac{\lambda}{a}}^{\frac{\lambda}{a}} \int... ...ha d\beta} {\int\!\!\!\int_{-\infty}^\infty I(\alpha,\beta) \; d\alpha d\beta}$$

le calcul numérique de ce rapport avec un ordinateur donne

$$r=81.5 \%$$

le pic principal contient les 4/5 de l'énergie lumineuse. On assimilera souvent pour cette raison la taille de la figure de diffraction (en théorie infinie) à celle de son lobe principal.

Figure de diffraction de Fresnel de la fente

Avec les valeurs numériques de notre exemple ($a=0.1$  mm) l'approximation paraxiale est réalisée. On peut écrire la diffraction de Fresnel à l'aide la la transformée de Fourier-Fresnel. Le calcul fait intervenir des intégrales de Fresnel.

La figure 1.13 représente une simulation réalisée à l'aide d'un micro-ordinateur pour différentes valeurs de $z$ . Remarquer le passage progressif de la forme de la fente (éclairement dans le plan $z=0$ ) au sinus cardinal caractéristique de la diffraction à l'infini. L'approximation de Fraunhofer est ici possible,avec les valeurs $a=120\;\mu$ et $\lambda=1\;\mu$ pour

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle z > 100 \pi \frac{a^2... ...mbox{cm pour une approx. \\lq a 10 \%}\ \\ \end{array}\right.$$

Fig. 1.13: Figures de diffraction de Fesnel (intensité) d'une fente rectangulaire pour différentes distances entre le plan de la fente et le plan d'observation.