Diffraction à distance finie par un réseau infini

On s'intéresse à un réseau par transmission périodique dans la direction x, invariant par translation dans la direction y, infini dans les deux directions x et y. Son coefficient de transmission s'écrit comme la périodisée de son motif

$\begin{displaymath}t(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \phi(x-na) \end{displaymath}$

Ce réseau, placé dans le plan z=0 est éclairé par une onde plane monochromatique arrivant sous incidence oblique et s'écrivant

$\begin{displaymath}\psi(x,y,z<0)=\psi_0\; \exp\frac{2i\pi}{\lambda}(\alpha_0 x+\gamma_0 z) \end{displaymath}$

A la sortie du réseau, l'onde s'écrit

$\begin{displaymath}f_0(x,y)=\psi(x,y,z<0^+)=\psi_0\; e^\frac{2i\pi\alpha_0 x}{\lambda} \; \sum_{-\infty}^\infty \phi(x-na) \end{displaymath}$

L'utilisation de la formule sommatoire de Poisson (développement en série de Fourier de la fonction t(x,y) va permettre de faire apparaitre que f₀(x,y) est une somme d'ondes planes se propageant dans des directions différentes. En effet,

$\begin{displaymath}\sum_{-\infty}^\infty \phi(x-na)\; = \; \frac{1}{a} \; \sum_{-\infty}^\infty \hat\phi(\frac{n}{a}) \; e^{2 i \pi n\frac{x}{a}} \end{displaymath}$

d'où

$\begin{displaymath}f_0(x,y)=\frac{\psi_0}{a}\; \sum_{-\infty}^\infty \hat\phi(\f... ... \; \exp \frac{2i\pi}{\lambda}(\alpha_0 +n\frac{\lambda}{a}) x \end{displaymath}$

On reconnait ici l'écriture dans le plan z=0 d'une somme discrètes d'ondes planes de se propageant dans les directions

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} \alpha_n=\alpha_0+n\frac{\lambda}{a}\\ \beta_n=0 \end{array}\end{displaymath}$

et d'amplitudes $\psi_{0n}=\frac{\psi_0}{a} \hat\phi(\frac{n}{a})$ . Une plane onde incidente est ainsi transformée en une multitude d'ondes planes secondaires secondaires. Il est remarquable de constater que les directions de propagation de ces ondes secondaires ne sont fonction de la période du réseau alors que leurs amplitudes ne dépendent que de la forme du motif.

Il est facile, à partir de l'expression pécédente, d'écrire l'amplitude dans un plan z>0 quelconque, il suffit de propager chaque onde plane en la multipliant par un terme de phase. Le vecteur d'onde associé à chaque onde plane de la somme s'écrit

$\begin{displaymath}{\vec k}_n=\frac{2\pi}{\lambda}\left\vert \begin{array}{l} ... ...ght. \mbox{\hskip 2cm avec \ \ \ }\gamma_n=\sqrt{1-\alpha_n^2} \end{displaymath}$

D'où l'expression de l'onde

$\begin{displaymath}\psi(x,y,z\ge0)= \frac{\psi_0}{a}\; \sum_{-\infty}^\infty \ha... ...ambda}\left[(\alpha_0 +n\frac{\lambda}{a}) x+\gamma_n z\right] \end{displaymath}$

Notons que cette expression est valable aussi bien en optique paraxiale que non paraxiale.