Réseaux de taille finie -- Pouvoir de résolution

Les réseaux réels ne sont bien sûr pas infinis dans les deux directions, ils sont généralement gravés sur des plaques de verre ou sur des films plastiques (réseaux photographiques), leur dimension typique est de quelques centimètres :

Le nombre total de traits, N=L/a est de l'ordre de quelques milliers à quelques dizaines de milliers. Le coefficient de transmission du réseau de taille finie s'écrit en multipliant celui du réseau infini par des fonctions portes assurant la limitation spatiale :

\begin{displaymath}t(x,y)=\Pi\left(\frac{x}{L}\right)\; \Pi\left(\frac{y}{h}\right)\; \sum_{n=-\infty}^{\infty} \phi(x-na) \end{displaymath}

La nouvelle amplitude diffractée à l'infini s'écrit alors comme la convolution :

\begin{displaymath}f_\infty(\alpha,\beta)=\frac{\lambda \psi_0}{a} \; \frac{e^{i... ...t) \mbox{sinc}\left(\frac{\pi \beta h}{\lambda}\right) \right] \end{displaymath}

Soit en réarrangeant les termes et en utilisant les propriété $f(x)\ast \delta(x-a)=f(x-a)$ et $f(x) \delta(x-a)=f(a)\; \delta(x-a)$

\begin{displaymath}f_\infty(\alpha,\beta)= \frac{h L \lambda \psi_0 e^{ikr}}{i a... ...ht)\right) \mbox{sinc}\left(\frac{\pi \beta h}{\lambda}\right) \end{displaymath}

Comparons cette expression à celle qui correspond au réseau infini : on constate que tous les pics de Dirac ont été remplacés par des sinc qui correspondent à la figure de diffraction du rectangle de limitation spatiale $\Pi\left(\frac{x}{L}\right)\; \Pi\left(\frac{y}{h}\right)$. L'ensemble a grossièrement l'allure suivante :



Ecriture de l'intensité

Elle est le module carré de l'amplitude complexe de l'expression précédente, on a donc formellement

\begin{displaymath}I(\alpha,\beta)= \frac{h^2 L^2 \lambda^2 \vert\psi_0\vert^2}{... ...box{sinc}\left(\frac{\pi \beta h}{\lambda}\right)\right\vert^2 \end{displaymath}

Posons $I_0=\frac{h^2 L^2 \lambda^2 \vert\psi_0\vert^2}{a^2 r^2}$, le développement du carré fait apparaitre des termes carrés et des termes de type double-produit :

\begin{displaymath}I=I_0 \; \left( \sum_n \mbox{termes carr\'es} \; +2 \sum_n\sum_{n\ne m} \mbox{ produits entre termes crois\'es}\right) \end{displaymath}

On va se placer dans le cas (assez courant) où la taille du réseau est grande devant sa période, soit $L\gg a$. Sous cette hypothèse, la largeur des ordres $\frac{2\lambda}{L}$ est petite devant leur distance $\frac{\lambda}{a}$ (non-recouvrement entre deux ordres successifs). Dans ce cas les termes croisés de la somme ci-dessus sont quasiment nuls (produits entre amplitudes provenant d'ordres différents $n\ne m$) et on peut écrire :

\begin{displaymath}I(\alpha,\beta)\simeq I_0 \; \sum_{-\infty}^\infty \vert\hat\... ...)\right) \mbox{sinc}^2\left(\frac{\pi \beta h}{\lambda}\right) \end{displaymath}


Pouvoir de résolution

Imaginons que le réseau soit éclairé avec deux ondes planes monochromatiques de longueurs d'onde voisines $\lambda_1$ et $\lambda_2$ arrivant toutes les deux sous la même incidence.

Deux vibrations de fréquences différentes sont incohérentes entre elles et ce sont les deux intensités de chaque figure de diffraction qui s'ajoutent pour donner un graphe à l'allure suivante présentant un dédoublement de chaque ordre (sauf l'ordre zéro) :

L'écart $\Delta\alpha$ entre les deux pics correspondants à l'ordre n vaut

\begin{displaymath}\Delta\alpha=n\frac{\delta\lambda}{a}\end{displaymath}

si $\delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1$. Si cette distance est inférieure à la demi-largeur $\lambda/a$ de l'ordre, on n'observera qu'un seul pic comme illustré par la figure suivante

On dit alors que le réseau n'est pas capable de ``séparer'' les deux longueurs d'onde dans l'ordre n. Le cas critique à partir duquel les deux pics sont détachés est obtenu lorsque la séparation entre les pics est égale à la demi-largeur. Dans ce cas le maximum du pic correspondant à $\lambda_1$ tombe sur le premier zéro du pic correspondant à $\lambda_2$ :

on dit alors que l'écart minimal entre deux longueurs d'onde que le réseau est capable de séparer à l'ordre n vaut

\begin{displaymath}\delta\lambda=\frac{a\lambda}{n L} \end{displaymath}

et on définit le pouvoir de résolution du réseau comme

\begin{displaymath}\mbox{\fbox{$\displaystyle R=\frac{\lambda}{\delta\lambda}=\frac{n L}{a} $ } }\end{displaymath} (55)

Soit le produit de l'ordre par le nombre de traits du réseau. Les valeurs courantes sont de quelques milliers à quelques dizaines de milliers.

Exemple d'application

On veut résoudre le doublet du Sodium, $\lambda_1=5890$ Å, $\lambda_2=5896$ Å; quel doit être le pouvoir de résolution ? Si on utilise à l'ordre 1 un réseau de 100 traits/mm, quelle doit être sa taille ?

$\rightarrow$
L'écart $\delta\lambda$ est ici de 6 Å, $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont voisins de 6000 Å, donc la résolution nécessaire est de

\begin{displaymath}R=\frac{\lambda}{\delta\lambda}\simeq 1000 \end{displaymath}

$\rightarrow$
Pour un réseau de 100 traits/mm (a=0.01 mm) à l'ordre 1, la taille nécessaire est de

\begin{displaymath}L=a R=10\;\mbox{mm} \end{displaymath}



Autre exemple

On utilise un spectroscope à réseau pour mesurer la vitesse radiale des étoiles doubles. Avec un réseau de résolution 60000 dans l'ordre 1, quelle vitesse minimum peut-on mesurer ?
$\rightarrow$
L'écart en longueur d'onde des spectres des deux étoiles est une conséquence de l'effet Doppler. Si vr est la différence de vitesse radiale des deux étoiles, alors le décalage Doppler entre les deux spectres sera de

\begin{displaymath}\frac{\delta\lambda}{\lambda}=\frac{v_r}{c} \end{displaymath}

$\rightarrow$
Avec un réseau de résolution R, la vitesse radiale minimale accessible sera donc de

\begin{displaymath}v_r=c\frac{\delta\lambda}{\lambda}=\frac{c}{R}=5\;\mbox{km/s} \end{displaymath}