Intensité d'une onde

$\parbox{10cm}{ On appelle {\em intensit\'e} la puissance par unit\'e... ...}}. d\vec s = \frac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}. d\vec s \end{displaymath}\par }$
Ce qui donne, compte-tenu du fait que le champ électromagnétique doit être exrpimé en notation réelle pour faire le produit vectoriel :

$$dW=\frac{\vert E_0\vert\: \vert B_0\vert}{\mu_0} \vert\cos\theta\vert\; \cos^2(\vec k.\vec r-\omega t)\; ds$$

d'où l'intensité instantannée de l'onde plane, définie positive,

$${\cal I}(\vec r,t)=\frac{dW}{ds}=\frac{\vert E_0\vert^2}{\mu_0 v} \vert\cos\theta\vert\; \cos^2(\vec k.\vec r-\omega t)$$

Cette fonction sinusoïdale a une pulsation temporelle $T=10^{-14}$  s environ dans le visible. L'oeil a un temps d'intégration de 40 ms environ, les caméras rapides ont des temps de pose de l'ordre de la milliseconde et ne voient en fait pas cette fonction ${\cal I}(\vec r,t)$ mais sa moyenne sur le temps de pose $\tau$ , soit la quantité $I$  :

$$I=\frac{1}{\tau}\; \int_0^\tau \frac{\vert E_0\vert^2}{\mu_0 v} \vert\cos\theta\vert\; \cos^2(\vec k.\vec r-\omega t) \; dt$$

Pour l'oeil, l'intégrale porte sur plus de $10^{12}$ périodes du $\cos^2$ , et pour les caméras rapides on intègre environ $10^{10}$ périodes. L'intégrale vaut alors

$$I= \: \frac{\vert E_0\vert^2}{\mu_0 v} \vert\cos\theta\vert\; \fr... ...eq \; \: \frac{\vert E_0\vert^2}{\mu_0 v} \cos\theta\; \langle \cos^2()\rangle$$

et la valeur moyenne d'un $\cos^2$ étant de 1/2, l'intensité est donnée par

$$I= \: \frac{\vert E_0\vert^2}{2 \mu_0 v} \vert\cos\theta\vert$$

On obtient ainsi le résultat suivant lequel, pour une onde plane monochromatique, l'intensité est proportionnelle au module du champ électrique de l'onde $\vert E_0\vert=\vert E(\vec r,t)\vert$ . Par habitude, on pose la constante de proportionalité égale à 1. On écrira

$$\mbox{\fbox{$\displaystyle I=\vert\psi(\vec r)\vert^2 $}}$$ (1.9)

avec $\psi(\vec r)$ l'attention est attirée sur le fait que la quantité $I$ n'est ici plus homogène à une puissance par unité de surface (W/m$^2$ ), mais au carré d'un champ électrique.

Cas d'une onde monochromatique quelconque

Le calcul d'intensité, établi dans le cas d'une onde plane (dont les surfaces d'onde sont des plans) se généralise aux ondes monochromatiques d'amplitude complexe $\psi(\vec r)$ quelconque, s'écrivant $\psi(\vec r)= A(\vec r) e^{i \phi(\vec r)}$ avec $A$ et $\phi$ réels. Les surfaces d'ondes sont en effet assimilables localement à des plans sur la surface $ds$ définie au paragraphe précédent autour du point $M$ . Un développement limité permet de s'en convaincre, en effet :

$$\phi(\vec r) \simeq \phi_0 + \vec \nabla \phi . \vec r$$

avec $\phi_0$ une constante, et $A(\vec r)\simeq A_0$ avec $A_0$ une constante (on ne gardera que l'ordre 0 qui suffit pour le terme $A(\vec r)$ ). Ainsi l'amplitude complexe de l'onde s'approxime, autour du point $M$ , par

$$\psi(\vec r) \simeq A_0 e^{i \phi_0} \; e^{i \vec k . \vec r}$$

c'est à dire une onde plane, avec $\vec k=\nabla \phi$ un vecteur d'onde ``local'', gradient de la phase de l'onde au point $M$ . Le raisonnement qui a conduit au calcul de l'intensité pour une onde plane s'applique donc aussi au cas d'une onde quelconque qui est localement plane. L'intensité est donc là aussi le carré du module de l'amplitude complexe

$$I(\vec r)=\vert\psi(\vec r)\vert^2$$