L3 Physique --- Correction examen optique

28 Avril 2015

Exercice : cohérence spatiale

1. La base des trous doit être parallèle à $Ox$ . En effet, la largeur de cohérence qui chiffre l'écartement maximal des trous pour avoir des franges, est $\lambda/B$ avec $B$ le diamètre angulaire de la source mesuré dans la direction de la base. C'est dans la direction $Ox$ que la source a le plus petit diamètre angulaire ($d/L$ ), donc c'est dans la direction $Ox$ que la largeur de cohérence est la plus grande et qu'on verra le plus facilement les franges.
2. Distribution angulaire de brillance :
   $$O(\alpha,\beta)=\prod\left( \frac{L \alpha }{d}\right)\: \prod\left( \frac{L \beta }{l}\right)$$
   Degré de cohérence spatiale : par définition $\gamma(a,b)=\displaystyle \frac{\hat O(\frac\alpha\lambda, \frac\beta\lambda)}{\hat O(0,0)}$ avec ici $b=0$ . On a donc ici : $\gamma(a)=$sinc$(\frac{\pi a d}{\lambda L})$

3. On veut $\gamma(a)\simeq 1/2$ donc $$\frac{\pi a d}{\lambda L_m}\simeq 2$$ (la table de sinc donne sinc(2)=0.45). Ce qui donne $$L_m\simeq\frac{\pi a d}{2\lambda} \simeq 6000 a$$

4. Le contraste est $C(a)=\vert\gamma(a)\vert$ ; si $L\gg L_m$ il tend vers 1.

5. Si $L=L_m/2$ alors $\frac{\pi a d}{\lambda L} =4$ et le contraste vaut $\vert$sinc$(4)\vert\simeq 0.18$ .

Problème

Biprisme de Fresnel

1. Le prisme 1 (celui du haut) a une épaisseur $e_1(x)=\Delta-A x$ , donc un coefficient de transmission
   $$t_1(x)=e^{i k (n-1) e_1(x)}\: =\: e^{ik(n-1)\Delta} \;.\; e^{-ik(n-1)Ax}$$
   avec $k=2\pi/\lambda_0$ . L'amplitude de l'onde 1, en $z=0^+$ s'écrit $\psi_1(x,y,0)=\psi_0 e^{ik(n-1)\Delta} \;.\; e^{-ik(n-1)Ax}$ . Il s'agit d'une onde plane, comme prévu. Pour l'écrire en $z=d$ il suffit de la multiplier par $e^{ik\gamma d}$ avec $\gamma\simeq 1$ (app. paraxiale). Il vient
   $$\psi_1(x,y,d)=\psi_0 e^{ik(n-1)\Delta} \, e^{ikd}\;.\; e^{-ik(n-1)Ax}$$

2. Pour le prisme 2, l'épaisseur s'écrit $e_2(x)=\Delta+A x$ . Il suffit de changer $A$ en $-A$ pour avoir les expressions du coefficient de transmission et de l'amplitude complexe $\psi_2$ .

3. Intensité :
   $$\begin{array}{lll} I(x,y,d) & = & \vert \psi_1(x,y,d)+\psi_2... ...\ & = &2 \vert\psi_0\vert^2 (1+\cos(2k(n-1)Ax) ) \end{array}$$
   Ce sont des franges de constraste 1 et d'interfrange $a=\frac{\lambda_0}{2(n-1) A}$

4. Changement de variable $\nu_0=c/\lambda_0$ . Il vient :
   $$I(\tau)=2 \vert\psi_0\vert^2 \left(1+\cos\left(2\pi\nu_0 \frac{2(n-1)Ax}c\right) \right)$$
   CQFD avec $K=2 \vert\psi_0\vert^2$ et $\tau=\frac{2(n-1)Ax}c$ . La variable $\tau$ est un temps et désigne le retard entre les deux ondes 1 et 2.

5. C'est une question de cours. Lorsque l'intensité, pour le cas monochromatique, s'écrit $K.(1+\cos(2\pi\nu_0\tau))$ alors on a, dans le cas d'un spectre quasi-monochromatique de profil $P(\nu)$ centré autour de la fréquence $\nu_0$  :
   $$I(\tau)=I_0 \left[ 1+ C(\tau)\, \cos(2\pi\nu_0\tau+\phi(\tau))\right]$$
   avec $C(\tau)=\frac{\vert\hat P(\tau)\vert}{\hat P(0)}$ et $\phi(\tau)$ l'argument de $\hat P(\tau)$ .

6. Contraste mesuré : $C(x)=\exp(-\vert x\vert/L)$
   1. Pour avoir le contraste on peut mesurer $I_{\mbox{\scriptsize max}}$ sur une frange brillante et $I_{\mbox{\scriptsize min}}$ sur la frange sombre qui suit. Le contraste est obtenu par la formule $C=\displaystyle \frac{I_{\mbox{\scriptsize max}}-I_{\mbox{\scriptsize min}}}{I_{\mbox{\scriptsize max}}+I_{\mbox{\scriptsize min}}}$

   2. Temps de cohérence $\tau_c=1/\delta\nu$ . Il désigne la largeur de la fonction constraste exprimée en fonction de $\tau$ . Il désigne aussi le retard maximum tolérable entre les ondes 1 et 2 pour avoir des franges. Ici la largeur de la fonction contraste exprimée en fonction de $x$ est $L$ (demi-largeur à $1/e$ ). Le changement de variable $\tau=\frac{2(n-1)Ax}c$ permet d'écrire
      $$\tau_c=\frac{1}{\delta\nu}\, =\, \frac{2(n-1)AL}c$$
      A.N. : $$\frac{\delta\nu}{\nu_0}=\frac{c}{2\nu_0 (n-1)AL}=\frac{\lambda_0}{2 (n-1)AL}=\frac a L$$ avec $a$ l'interfrange. La mesure de $L$ sur le graphe se fait en regardant pour quelle valeur de $x/a$ on a $C=1/e\simeq 1/3$  ; on trouve $L\simeq 5a$ , d'où $\frac{\delta\nu}{\nu_0}\simeq\frac15$ .

   3. Longueur de cohérence temporelle $L_c=c \tau_c=\lambda_0 \frac{\nu_0}{\delta\nu}=5\lambda_0=2.5\,\mu$ m.

   4. Pour écrire le contraste en fonction de $\tau$ il faut utiliser le changement de variable $\tau=\frac{2(n-1)Ax}c$ . Il vient $C(\tau)=\exp(-\vert\tau\vert/\tau_c)$ , c'est le module du degré de cohérence $\gamma(\tau)$ . Sa phase $\phi(\tau)$ peut être déduite de la position de la frange centrale, ici nulle (d'après le graphe de l'intensité qui montre une frange brillante au centre). Le degré de cohérence est donc $\gamma(\tau)=\frac{\hat P(\tau)}{\hat P(0)}=\exp(-\vert\tau\vert/\tau_c)$ . On a donc $\hat P(\tau)=C^{te}\; \exp(-\vert\tau\vert/\tau_c)$ . Le formulaire de TF permet de calculer la TF inverse. Il vient
      $$P(\nu)=\frac{C^{te}}{1+4\pi^2 (\frac{\nu}{\delta\nu})^2}$$
      Et le spectre $F(\nu)$ s'obtient simplement en écrivant $F(\nu)=P(\nu-\nu_0)$ . Il s'agit d'une fonction Lorentzienne.

Biprisme anisotrope

6

1. Champ incident parallèle à $\hat y$
   1. L'onde en sortie du prisme 1 a toujours une polarisation rectiligne parallèle à $\hat y$
   2. Coefficient de transmission : même raisonnement que pour la question 1, en remplaçant l'indice par $n_e$ . Il vient
      $$t_1(x)=e^{i k (n_e-1) e_1(x)}\: =\: e^{ik(n_e-1)\Delta} \;.\; e^{-ik(n_e-1)Ax}$$

   3. Champ de l'onde 1 : même raisonnement que la question 1 également. Il vient
      $$\vec E_1(x,y,d)=\psi_0 \hat y \, e^{ik(n_e-1)\Delta} \, e^{ikd}\;.\; e^{-ik(n_e-1)Ax}$$

   4. Prisme 2 : c'est maintenant l'indice ordinaire $n_o$ qui est vu par l'onde. Le coefficient de transmission s'écrit
      $$t_2(x)=e^{i k (n_o-1) e_1(x)}\: =\: e^{ik(n_o-1)\Delta} \;.\; e^{ik(n_o-1)Ax}$$
      et le champ dans le plan $z=d$ est
      $$\vec E_2(x,y,d)=\psi_0 \hat y \, e^{ik(n_o-1)\Delta} \, e^{ikd}\;.\; e^{ik(n_o-1)Ax}$$

   5. Intensité dans le plan $z=d$  : les deux champs sont parallèles, on a donc
      $$I=\vert E_1(x,y,d)+E_2(x,y,d)\vert^2=2 \vert\psi_0\vert^2\: \left[1+\cos(k(n_e-n_o)\Delta-k(n_e+n_o-2) Ax ) \right]$$
      L'interfrange est $$a=\frac{\lambda}{(n_e+n_o-2)A}$$ , l'origine des franges est en $$x_0=\frac{(n_e-n_o)\Delta}{(n_e+n_o-2) A}$$ . Lorsque les deux indices sont égaux, on retrouve les résultats de la question 3.

   6. La biréfringence est $B=n_e-n_o$ . Elle intervient notamment dans l'expression de l'intensité.
2. Champ incident parallèle à $\hat x$ : celà revient à intervertir les indices ordinaire et extraordinaire (l'onde 1 dépendra cette fois de l'indice $n_o$ , l'onde 2 de l'indice $n_e$ ). L'intensité devient
   $$I'=2 \vert\psi_0\vert^2\: \left[1+\cos(k(n_o-n_e)\Delta-k(n_e+n_o-2) Ax ) \right]$$
   le seul changement est sur la position de la frange centrale ($x_0$ change de signe)

3. Champ à 45$^\circ$
   1. 1ère ligne neutre : l'axe optique ($\hat y$ pour le prisme 1, $\hat x$ pour le prisme 2). 2nde ligne neutre : la direction perpendiculaire à l'axe optique dans le plan d'incidence ($\hat x$ pour le prisme 1, $\hat y$ pour le prisme 2). Pour les deux prismes, les lignes neutres sont donc les axes $\hat x$ et $\hat y$ .

      Vecteur de Jones du champ incident dans la base des lignes neutres $(\hat x, \hat y)$ :

      $$\vec E_i= \psi_0 \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc}1\\ 1\end{array}\right)$$

   2. On décompose le champ incident sur les axes $x$ et $y$ :

      La composante $y$ du champ incident donne naissance (comme à la question 7) à deux ondes $\vec E_1$ et $\vec E_4$ (voir schéma ci-dessous),polarisées selon $\hat y$ . Les amplitudes valent $E_{01}=E_{04}= \frac{\psi_0 }{\sqrt{2}}$ . Les vecteurs d'onde ont été calculés en question 7c et 7d. On a $\vec k_1=\frac{2\pi}{\lambda} (\alpha_1, 0, 1)$ et $\vec k_4=\frac{2\pi}{\lambda} (\alpha_4, 0, 1)$ avec $\alpha_1=-(n_e-1)A$ et $\alpha_4=(n_o-1)A$ .

      La composante $x$ du champ incident donne naissance (comme à la question 8) à deux ondes $\vec E_2$ et $\vec E_3$ , de polarisation rectiligne presque parallèle à $\hat x$ . Les amplitudes valent $E_{02}=E_{03}= \frac{\psi_0 }{\sqrt{2}}$ . Les vecteurs d'onde sont $\vec k_2=\frac{2\pi}{\lambda} (\alpha_2, 0, 1)$ et $\vec k_3=\frac{2\pi}{\lambda} (\alpha_3, 0, 1)$ avec $\alpha_2=-(n_o-1)A$ et $\alpha_3=(n_e-1)A$

      

   3. On a au total 4 ondes planes à la sortie du biprisme. Les ondes $\vec E_1$ et $\vec E_4$ sont cohérentes entre elles (champs parallèles). De même que les ondes $\vec E_2$ et $\vec E_3$ . Par contre les ondes $\vec E_1$ et $\vec E_4$ sont incohérentes avec les ondes $\vec E_2$ et $\vec E_3$ (champs perpendiculaires).

   4. L'intensité dans le plan $z=d$ : elle s'écrit $I=I_1+I_2$ avec $I_1$ l'intensité produite par les ondes $\vec E_1$ et $\vec E_4$ et $I_2$ l'intensité produite par les ondes $\vec E_2$ et $\vec E_3$ . $I_1$ a été calculée à la question 7e, il suffit de changer l'amplitude $\psi_0$ en $\frac{\psi_0}{\sqrt{2}}$ . De même pour $I_2$ (question 8).