Correction du second Partiel

17 Décembre 2008

Interférometre de Mach-Zehnder

1. Champ scalaire

   1. Onde 1: $$E_1=E_0\: r^2\: e^{ik(a+2d+b)}$$
      Pour l'onde 2 l'incidence est oblique, le vecteur d'onde a 2 composantes $k_x=\frac{2\pi (-2\theta) x}{\lambda}$ et $k_z=\frac{2\pi}{\lambda}$ (dans l'appoximation paraxiale). Le point $M$ a comme coordonnées $(x,y,a+b+2 d)$ . Donc
      $$E_2=E_0\: r^2\: e^{ik(a+2d+b)}\:\exp\left(-\frac{4 i \pi \theta x}{\lambda}\right)$$

   2. $$I=\vert E_1+E_2\vert^2\; = \; 2 \vert E_0\vert^2\: r^4\: \left(1+\cos \left(\frac{4 \pi \theta x}{\lambda}\right)\right)$$
      
      Contraste 1, interfrange $\lambda/2\theta$ .
2. 1. En $z=0+$ l'onde incidente s'écrit
      $$\vec E_0=E_0\; \hat{P}$$

   2. Onde 2: pas de changement pour l'amplitude. la polarisation reste quant à elle linéaire et à 45$^\circ$ .
      $$\vec E_2=E_0\: r^2\: e^{ik(a+2d+b)}\:\exp\left(-\frac{4 i \pi \theta x}{\lambda}\right)\; \hat{P}$$

   3. Pour l' onde 1 il faut traiter séparément les composantes $x$ et $y$ . Chaque composante parcourt dans le vide une distance $a+2d+b-e$ et dans le milieu la distance $e$ . Le déphasage introduit par la lame est donc $\exp \frac{2 i \pi (n-1) e}{\lambda}$ où $n$ est l'indice concerné. L'axe optique est parallèle à $\hat x$ donc la composante $x$ voit l'indice $n_e$ et la composante $y$ l'indice $n_o$ . Il vient donc :
      $$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle E_{1x} \; = \; \frac{... ...\: e^{i k (a+2d+b-e)}\: \exp( i k n_o e)\\ \end{array}\right.$$
      En posant $\delta n=n_o-n_e$ on peut réécrire le champ $\vec E_1$ en $M$ à l'aide du vecteur de Jones
      $$\vec E_1\: = \: \frac{E_0}{\sqrt{2}}\: r^2\: e^{i k (a+2d+b-... ...t( \begin{array}{l} 1 \\ e^{i k \delta n e} \end{array}\right)$$

   4. On veut que l'onde soit circulaire gauche donc que $\exp ( i k n_e e)=i$ . Ce qui donne
      $$\lambda_G=\frac{2 e \delta n}{2p+1/2}$$

   5. Si on tourne la lame, les rôles de $n_e$ et $n_o$ sont inversés. A $\lambda=\lambda_G$ la polarisation est cette fois circulaire droite.
   6. Pour $n_e=n_o$ le champ $\vec E_1$ s'écrit
      $$\vec E_1=E_0\: r^2\: e^{ik(a+2d+b-e)}\:\exp(i k n_e e)\; \hat{P}$$
      La polarisation est linéaire et parallèle à celle de $\vec E_2$ . L'intensité s'écrit ($\star$ désignant ici le complexe conjugué) :
      $$I\; =\; \vert\vec E_1+\vec E_2\vert^2\; =\;\vert E_1\vert^2+\vert... ...t(\frac{4 \pi \theta x}{\lambda}-\frac{2 \pi (n_e-1) e}{\lambda}\right)\right)$$
      Ce sont toujours des franges de contraste 1, mais on a un changement d'origine en $x_0=\frac{(n_e-1) e}{2\theta}$ . Si on tourne le polariseur $P$ les deux champs qui interfèrent sont toujours parallèles entre eux et il n'y a pas de changement.
   7. Pour $$\lambda=\frac{2 e (n_o-n_e)}{20}$$ , le champ $\vec E_1$ s'écrit
      $$\vec E_1\: = \: \frac{E_0}{\sqrt{2}}\: r^2\: e^{i k (a+2d+b-... ... k n_e e) \: \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)$$
      Il est donc parallèle à $\vec E_2$ et son expression est la même que la question précédente. L'intensité est la même également.
   8. Pour $$\lambda=\frac{2 e (n_o-n_e)}{21}$$ , le champ $\vec E_1$ s'écrit
      $$\vec E_1\: = \: \frac{E_0}{\sqrt{2}}\: r^2\: e^{i k (a+2d+b-... ...k n_e e) \: \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)$$
      Il est perpendiculaire à $\vec E_2$ : les franges d'interférence disparaissent. L'intensité est uniforme et vaut $I=2 \vert E_0\vert^2\: r^4$ .

Cohérence spatiale

1. La distribution angulaire de brillance se déduit de l'égalité $O(\alpha_0,\beta_0)\, d\alpha_0\,d\beta_0=I(x',y')\, dx'\, dy'$ en faisant le changement de vairable $\alpha_0=x'/D$ , $\beta_0=y'/D$ . Il vient
   $$O(\alpha_0,\beta_0)\: = \: I_0 D\: \Pi \left(\frac{\alpha_0 D}{L}\right)\: \cos^2\left(\frac{\pi \alpha_0 }{l}\right)\: \delta(\beta_0)$$

2. La TF de $O$ est composée de trois termes en sinc
   $$\hat O(u,v)\: = \: \frac{L I_0}{2}\: \left[\mbox{sinc}\left(\frac... ...2} \mbox{sinc}\left(\frac{\pi L }{D} \left(u-\frac{D}{l}\right)\right) \right]$$

   

   Ces termes ne se recouvrent pas si $L\gg l$ (dans la figure ci-essus on a pris $L/l=50$ ). Ce qui implique en particulier que le calcul $\hat O(0,0)$ ne fait intervenir que le premier de ces 3 sinc, les deux autres sont nuls en 0. Soit : $\hat O(0,0)=\frac{L I_0}{2}$ .

3. Le contraste $C(a)$ est
   $$C(a)\: =\: \frac{\vert\hat O \left(\frac{a}{\lambda},0 \right)\ve... ...(\frac{\pi L }{\lambda D} \left(a-\frac{\lambda D}{l}\right)\right)\right\vert$$

4. Le contraste est différent de zéro au voisinage du centre des 3 sinc, c'est donc là qu'on observera des franges. Les valeurs positives de $a$ qui correspondent sont $a_0=0$ (les deux trous sont superposés) et $a_1=\lambda D/l$ .
5. Pour $a=a_1$ le contraste vaut $C(a)=1/2$ (seul le dernier sinc contribue, les autres sont nuls en raison de la condition $L\gg l$ ). L'intensité s'écrit
   $$I=Cte\; \left[1+\frac{1}{2} \cos\left(\frac{2 \pi a_1 x}{\lambda d}\right) \right]$$
   Contraste 1/2, interfrange $i=\lambda d/a_1=l d/D$ . L'allure de l'intensité est la suivante (les valeurs sur les axes sont arbitraires).