Correction du second partiel d'optique

Année 2009-2010

Prismes de Wollaston

Le prisme possède 3 interfaces, numérotées 1, 2 et 3 dans le schéma ci-dessous.

1. Une onde est non polarisée quand son champ électrique a une orientation aléatoire dans le plan d'onde au cours du temps (toutes les orientations sont équiprobables).
2. Un matériau uniaxe est un matériau pour lequel il existe un axe pivilégié appelé axe optique. Un champ électrique polarisé suivant l'axe optique se propage avec une vitesse $c/n_e$ ($n_e$ est appéle indice extraordinaire). Un champ électrique polarisé dans le plan perpendiculaire à l'axe optique se propage avec une vitesse $c/n_O$ ($n_O$ est l'indice ordinaire)
3. Pour un milieu non chargé éclairé par une onde plane sinusoïdale, la première équation de Maxwell ( $\vec\nabla.\vec D=\rho$ ) conduit à $\vec k.\vec E=0$ avec $\vec k$ le vecteur d'onde. Le champ électrique est donc dans le plan perpendiculaire à $\vec k$ et n'a que deux composantes non nulles (ici selon $x$ et $y$ )..
4. $\vec D_1=D_1\, \hat x$ est l'onde extraordinaire dans le premier prisme (axe optique $\parallel \hat x$ ). $\vec D_2=D_2\, \hat y$ est l'autre composante (ordinaire dans le premier prisme).
5. L'onde correspondant à la polarisation $\vec D_1$ est déviée aux interfaces 2 et 3. Dans le prisme 1 l'indice est $n_e$ , dans le prisme 2 l'indice est $n_O$ . La déviation à l'interface 2 se calcule à l'aide de la loi de Descartes $n_e \sin i_1=n_O \sin i_2$ . Le trajet est le suivant :
   
   l'angle d'émergence est noté $i''$ . Le vecteur d'onde dans le prisme 1 est $\vec k_1=\frac{2\pi}{\lambda} (1,0,0)$ . Dans le prisme 2 il vaut $\vec k_2=\frac{2\pi}{\lambda} (\sin \theta,0,\cos\theta)$ avec $\theta=\pi/4-i'\simeq 6^\circ$ . Dans le vide à la sortie il vaut $\vec k_2=\frac{2\pi}{\lambda} (\sin i'',0,\cos i'')$
6. Pour l'onde correspondant à la polarisation $\vec D_2$ . L'indice est cette fois $n_O$ dans le prisme 1 et $n_e$ dans le prisme 2. Le trajet est le suivant :
   
7. Pour le prisme 1 l'angle d'émergence vaut $i''=-9.4^\circ$ . Pour le prisme 2 il vaut $i''=+10.6^\circ$ .
8. On n'a qu'un seul rayon réfracté par la face 2 quand $$\frac{n_o}{n_e}\ge\sqrt{2}$$ . Dans ce cas l'onde correspondant à la polarisation $\vec D_2$ subit une réflextion totale (l'application de la loi de Descartes conduit à $\sin i'\ge 1$ ). Seule la polarisation $\vec D_1$ est alors transmise : l'onde émergente est polarisée linéairement, comme à la sortie d'un polariseur.

Cohérence temporelle

1. Schéma équivalent plus simple. La déviation de l'onde 2 est $2\theta$ .
   
2. Onde monochromatique
   1. La longueur de cohérence d'une onde est la distance maximale entre deux fronts d'onde cohérents. Elle est infinie pour une onde monochromatique.
   2. En utilisant l'approximation paraxiale, on a $\psi_1(x',y')=\psi_0 rt \, e^{ikD}$ et $\psi_2(x',y')=\psi_0 rt\, e^{ikD}\, \exp(ik\, 2\theta x')$
   3. $I(x',y')=\vert\psi_1+\psi_2\vert^2=2\vert\psi_0\vert^2r^2t^2 (1+\cos(2k\theta x'))$ . On observe des franges rectilignes parallèles à $\hat y$ .
   4. Interfrange $i=\frac{\lambda}{2\theta}$ contraste 1
   5. Différence de marche : $\delta=2\theta x'$ (on peut le voir soit géométriquement soit par l'identification au déphasage entre $\psi_1$ et $\psi_2$ : $k\, 2\theta x'=2\pi\delta/\lambda$ ).
   6. Retard $$\tau=\frac{\delta}{c}=\frac{2\theta x'}{c}$$ . Intensité en fonction de $\tau$ : $I(\tau)=2\vert\psi_0\vert^2r^2t^2 (1+\cos(2\pi \nu \tau))$ en posant $\nu=c/\lambda$ .
3. Onde quasi-monochromatique
   1. Le spectre $F(\nu)$ d'une onde représente l'intensité émise dans la bande de fréquence $[\nu,\nu+d\nu]$
   2. Ici $F(\nu)$ est centrée sur $\nu_0$ . Elle s'écrit $F(\nu)= I_0\; \Pi (\frac{\nu-\nu_0}{\delta\nu})$ .
   3. Longueur de cohérence $\L _c=c/\delta\nu=\lambda_0^2/\delta\lambda=18\,\mu$ m
   4. Degré complexe de cohérence
      $$\gamma(\tau)=\frac{\hat P(\tau)}{\hat P(0)}=$$sinc$$(\pi\delta\nu \tau)$$

   5. Intensité en fonction $\tau$ : elle se déduit de celle de la question 2f, en remplaçant le terme $\vert\psi_0\vert^2$ par $\hat P(0)$ . Il vient
      $$I(\tau)=2\hat P(0) r^2t^2 (1+$$sinc$$(\pi\delta\nu \tau)\cos(2\pi \nu_0 \tau))$$

   6. Fonction contraste $C(\tau)=\vert$sinc$(\pi\delta\nu \tau)\vert$
   7. Intensité en fonction de $\tau$

      

   8. $\tau_c=1/\delta\nu$ (premier zéro positif du sinc)
   9. $\tau_c$ est le temps de cohérence
   10. Nombre de franges = rapport de la largeur du paquet central à l'interfrange $N_f=2\tau_c \nu_0=60$ .
   11. Interfrange $i$ en mètres : on réécrit l'intensité en utilisant le changement de variable $\tau=2\theta x'/c$ . Il vient $$i=\frac{\lambda_0}{2\theta}=17\, \mu$$ m
   12. Taille du paquet central de franges $$L=\frac{c}{\theta\delta\nu}=\frac{L_c}{\theta}=1$$  mm.