L3 Physique -- Second partiel d'optique

19 Janvier 2011


Durée 2h

Documents autorisés : 1 feuille A4 manuscrite RV + formulaire de TF
Les deux exercices sont indépendants. N'oubliez pas de tourner la page, il y a des questions au verso.

Prismes de Rochon et interférences

$\textstyle \parbox{11cm}{Le Rochon est un \lq\lq séparateur de polarisations'' const... ...s\'ee de longueur d'onde $\lambda$\ se propageant vers les $z>0$.\\ \vskip 1mm}$ \includegraphics[width=5cm]{rochon.eps}

  1. Faire le tracé des rayons réfractés sur chaque face (construction de Descartes) et montrer qu'à la sortie du Rochon on a deux ondes planes polarisées linéairement.
  2. Ecrire les vecteurs d'onde $ \vec k_1$ et $ \vec k_2$ de ces deux ondes planes, et préciser leur direction de polarisation.
  3. Si $ n_o=1.658$ et $ n_e=1.486$ (cas de la calcite), peut-on utiliser l'approximation paraxiale pour ces deux ondes ?
On s'intéresse maintenant à l'interférence entre les deux ondes sortant du Rochon. Le plan $ z=0$ est pris juste à la sortie du Rochon, les franges sont observées dans un plan $ z=d$ , en un point de coordonnées $ (x,y)$ . On se place dans les conditions de l'optique paraxiale et on néglige les effets de bord (ce qui revient à considérer les deux ondes comme planes). On suppose en outre que les deux ondes sont d'amplitude égale $ A$ et qu'elles sont en phase à la sortie du Rochon. Le schéma est le suivant (attention les angles d'incidence des ondes 1 et 2 n'ont pas forcément été respectés sur le dessin).

\includegraphics{rochon2.eps}

  1. Ecrire les vecteurs champs électriques $ \vec E_1$ et $ \vec E_2$ des deux ondes dans le plan $ z=d$
  2. Calculer l'intensité $ I(x,y)$ dans le plan $ z=d$ . Commentaires ?
  3. Juste avant le plan $ z=d$ , on place un polariseur de direction $ \hat P=\frac{1}{\sqrt{5}}(2\hat x+\hat y)$ . Réécrire les deux champs électriques dans le plan $ z=d$ .
  4. Calculer la nouvelle intensité $ I'(x,y)$ dans le plan $ z=d$
  5. Tracer le graphe de $ I'(x,y)$ , préciser la valeur de l'interfrange et du contraste.
  6. Comment serait modifiée l'intensité $ I'$ si l'onde était quasi-monochromatique, de fréquence centrale $ \nu_0$ et de profil $ P(\nu)=I_0\prod\left(\frac\nu{\delta\nu}\right)$ (on écrira, au préalable, l'intensité en fonction de la fréquence $ \nu_0$ ).

Réseau

On considère le schéma ci-dessous. Il s'agit d'un réseau de diffraction composé d'une grille de coefficient de transmission $ t_1(x',y')=\mathop{\textcyrillic{\CYRSH}}\left(\frac{x'}a\right)$ accolée à une fente carrée de côté $ L$ dans la direction $ \hat x$ avec $ L\gg a$ et supposée infinie dans la direction $ \hat y$ . Le plan du réseau est pris comme origine des $ z$ . Ce réseau est placé dans le plan focal objet d'une lentille convergente de focale $ F$ . L'éclairage est monochromatique, la longueur d'onde est $ \lambda$ . On s'intéresse à l'intensité dans le plan focal image de la lentille.

\includegraphics{rezo.eps}

La source est ponctuelle et sur l'axe optique. Elle est située en $ z=-D$ , $ D$ pouvant être considéré comme infini (approximation de Fraunhöffer). L'amplitude émise par la dans le plan $ z=0$ source est notée $ A$ .

  1. Quelle est la nature de l'onde dans le plan $ z=0^-$ , juste avant le réseau ?
  2. Ecrire l'amplitude complexe en sortie du réseau.
  3. En déduire l'intensité dans le plan $ z=2F$ .
  4. Décrire l'image observée dans le plan $ (x,y)$ et faire un dessin.
  5. Pour un éclairage polychromatique, qu'appelle-t-on ``pouvoir de résolution'' du réseau ? Quelle est sa valeur dans l'ordre $ p$  ?
  6. Calculer le rapport d'intensité entre l'ordre $ p$ et l'ordre $ p+1$ .

On déplace maintenant la source parallèlement à l'axe des $ x$ , de sorte qu'elle éclaire le réseau avec une incidende $ \theta$ avec $ \theta\ll 1$ .

  1. Ecrire l'amplitude complexe en $ z=0^-$
  2. Ecrire l'intensité dans le plan $ z=2F$ .
  3. Tracer le graphe de l'intensité en fonction de $ x$ .
  4. Décrire en quelques mots l'effet du décalage de la source sur l'image dans le plan $ z=2F$ .

Le réseau est maintenant éclairé par deux sources ponctuelles identiques et incohérentes entre elles, situées toutes deux dans le plan $ z=-D$ . L'une est sur l'axe optique, l'autre est décalée (incidende $ \theta$ identique à la situation précédente).

  1. Ecrire l'intensité dans le plan $ z=2F$ .
  2. Tracer le graphe de l'intensité en fonction de $ x$ (se limiter aux ordres 0 à 2).
  3. A quelle condition sur $ L$ l'ordre $ p$ est-il séparé en deux images distinctes ? Cette condition dépend-elle de $ p$  ?

La source est maintenant constituée d'un ensemble de $ N$ sources ponctuelles identiques $ S_n$ situées dans le plan $ z=-D$ et alignées avec l'axe des $ x$ . Chaque source $ S_n$ éclaire le réseau avec une incidence $ \theta_n$ (avec $ \theta_n$ faible). On notera $ O_n$ l'intensité produite par la source $ S_n$ dans le plan $ z=0^-$ .

  1. Ecrire la distribution angulaire de brillance $ O(\alpha,\beta)$ de la source sous la forme d'une somme.
  2. En généralisant le résultat de la question 11, écrire l'intensité $ I(x,y)$ dans le plan $ z=2F$