LP2 - Partiel de Janvier 1996

durée : 3 heures

Question de cours (au choix)

sur 5 points

Sillage d'un bateau

On suppose que la relation de dispersion est  .

1. Expliquer pourquoi les ondes qui contribuent au sillage sont telles que  . Les ondes émises par le bateau (de longueur l) étant telles que  , indiquer à quelle condition sur la vitesse V cette inégalité ne limite pas le domaine de  . On suppose dans la suite cette condition réalisée.
2.  Expliquer où sont arrivées, à l'instant t, les ondes émises par le bateau à t=0. Montrer que  .

 

Vitesse de groupe

On considère une superposition d'ondes planes :

1. Calculer  pour un paquet d'ondes. Expliquer la différence entre la vitesse de phase et la vitesse de groupe et montrer que




Pourquoi dans l'approximation faite, n'y a-t'il pas étalement du paquet d'ondes ? Quel est l'origine de cet étalement ?

2.  Etablir la transformation galiléenne de  ,  ,  .

 

Dérivée en suivant le mouvement

1. Rapeller comment s'introduit naturellement cette dérivée. Que représentent  ,  ? Appliquer  à une grandeur dont la dépendance est de type onde plane. Quand le terme  est -il négligeable ?
2.  Soit  un champ de déplacement d'un fluide. Montrer que (V étant un volume massique)

Exercice

Sur 9 points. Les deux exercices sont indépendants

Filtrage cohérent

On considère un réseau de phase éclairé sous incidence normale par une onde monochromatique de longueur d'onde  , et de coefficient de transmission

avec  , on assimilera  à zéro.

1. Qu'est-ce qu'un réseau de phase ? Quelles sont les fréquences spatiales de ce réseau, considéré comme objet de phase ?
2.  Expliquer brièvement sur cet exemple la méthode d'observation par contraste de phase.

 

Filtrage incohérent

On considère un objet totalement incohérent de répartition angulaire d'intensité  . On réalise une expérience d'interférences à deux trous d'Young distants de a situés sur l'axe X (cf figure) et l'objet comme source. Un filtre fixe la longueur d'onde  . L'observation se fait à l'infini dans la direction (arbitraire)  ,  . On suppose que le contraste de la figure d'interférences est égal à 1 si l'objet est ponctuel.

1. Montrer que la répartition d'intensité de la figure est proportionnelle `a




2. Ecrire son développement de Fourier (très simple !). Quelles sont les fréquences angulaires présentes dans  ?
3.  Interpréter ce développement en terme d'objet filtré associé à l'objet  . Retrouver ce résultat à partir de la relation entre la fonction de transfert d'un instrument et l'autocorrélation de la pupille :




4. On suppose que l'objet est circulaire de diamètre apparent  . Pour quelle valeur minimale de a le contraste de la figure d'interférences est-il nul ? Citer une application.

Problème : Caustique

sur 11 points On considère dans le plan z=0 une onde monochromatique dont l'amplitude complexe (facteur de  ) vaut :

A est une constante. Cette onde se déplace vers les z>0.
 

 

1. Indiquer brièvement quelles ondes correspondent à  ?  ?
   
   
2.  Déterminer le rayon de courbure R d'une lentille plan convexe d'indice n susceptible de transformer dans le plan z=0 une onde plane en une des ondes de la question précédente.
   
   





 
3. Rappeler comment dans l'approximation de Gauss sont reliées les amplitudes F(X,Y,z) dans le plan z et f(x,y). On partira de la formule








Dans la suite, on suppose






avec  , et on admet, dans l'approximation de l'optique géométrique, la formule suivante valable pour toute fonction d'une variable, par exemple x, admettant des extréma en  :







le signe  est le signe de  . On observera que les intégrales sur x et y dans le calcul de F(M). se factorisent.



1. M étant donné, vérifier qu'un point  de coordonnées  correspond à un extrémum si






c'est à dire si le rayon issu de  passe par M.



2.  Montrer que par un point M il passe 0 ou 2 rayons suivant que M est d'un côté ou de l'autre d'une caustique dont on déterminera l'équation près du point z=f, X=0. Que vaut F(M) sur la caustique ?
   
   
3.  Indiquer (sans calcul explicite) ce qu'on observe de part et d'autre de la caustique (dans l'approximation ci-dessus).
   
   
4.  Question indépendante des précédentes : On suppose que a=0. Calculer F(0,0,z) pour z<f et z>f. Commenter les résultats obtenus. Quelles différences y-at'il avec le cas d'une onde sphérique (on ne demande pas de calcul explicite).