Correction de l'examen d'optique

Session de Juin 2001

1. Une lentille éclairée par une onde plane

1. L'intensité au foyer est une tache d'Airy (la lentille est de diamètre a), le graphe est le suivant :




2. $X_c=x_c+\alpha f$
3. Taille $$2.44 \frac{\lambda f}{a}$$. A.N : 2.44 microns
4. $\beta=\alpha$ donc $dX = f d\beta$.
5. Si $$dX_{\mbox{\scriptsize min}}=0.244 \frac{\lambda f}{a}$$ alors $$d\beta_{\mbox{\scriptsize min}}=0.244 \frac{\lambda}{a}$$. A.N. : $d\beta_{\mbox{\scriptsize min}}\simeq$ 5 microradian$\simeq$ 1 seconde d'arc.

2. La lentille est éclairée par une onde non plane

1. Soit $\psi_0$ l'amplitude complexe à l'entrée de la lame (elle est constante car l'onde arrive sous incidence normale sur la lame). A la sortie de la lame (prise ici comme origine des z) elle s'écrit  :
   
   $$\psi(x)=\psi_0 \; \exp\left(\frac{2 i \pi e}{\lambda} (n(x)-1)\right)$$
   
   
   
2. Nature de l'onde à la sortie de la lame (donc juste avant la lentille)




• Si $n(x)$ est constant l'onde est plane sous incidence normale (amplitude complexe indépendante de $x$ et $y$).
• Si $n(x)$ est linéaire l'onde est plane sous incidence oblique
• Si $n(x)$ est quadratique l'onde est cylindrique (amplitude complexe de la forme $\exp i \pi C x^2$)
• Si $n(x,y)$ est quadratique en $x$ et en $y$ l'onde est sphérique (amplitude complexe de la forme $\exp i \pi C (x^2+y^2)$)
3. Pour $$x\in \left[x_c-\frac{a}{2},x_c+\frac{a}{2}\right]$$ on peut faire un développement limité de l'indice de réfraction :
$$n(x)\simeq n(x_c)+n'(x_c) (x-x_c)$$





l'amplitude complexe à la sortie de la lame s'écrit alors

$$\begin{array}{ll}\psi(x)& \displaystyle =\psi_0 \; \exp\lef......{Cte} \; \exp \frac{2 i \pi}{\lambda} [n'(x_c) e] x\end{array}$$





c'est une onde plane de vecteur d'onde $\frac{2\pi}{\lambda}(\beta,0,1)$ où $\beta=n'(x_c) e$ est la pente que fait le front d'onde avec le plan $xOy$. La réponse à la question est donc

$$\beta(x_c)=n'(x_c) e$$





et donc la tache image au foyer de la lentille est centrée en

$$(X_c=x_c+\beta(x_c) f, Y_c=0)$$
4. Si $\beta(x_c)=0$ la lentille produit une image centrée en $(x_c,0)$. Si $\beta(x_c)\ne 0$ l'image se déplace d'une quantité $\delta X=\beta(x_c) f$. Si $$\delta X_{\mbox{\scriptsize min}}=0.244 \frac{\lambda f}{a}$$ alors $$\beta(x_c)_{\mbox{\scriptsize min}}=0.244 \frac{\lambda}{a}$$ et on est dans le même cas que la question 1.5. On trouve
$$\beta(x_c)_{\mbox{\scriptsize min}}=\mbox{5 microradian}$$





la plus petite valeur mesurable de la dérivée de l'indice est alors

$$n'(x_c)_{\mbox{\scriptsize min}}=\frac{\beta(x_c)_{\mbox{\scriptsize min}}}{e}=5 \, 10^{-3} \mbox{m}^{-1}$$

3. Analyseur de front d'onde de Shack-Hartmann

1. Les images se forment sur les axes optiques de chaque lentille soit
$$(X_n=x_n,Y_n=0)$$
2. Comme pour la question 1.2 on trouve $(X_n=x_n+\alpha f, Y_n=0)$.
3. Même question que la 2.3 : $(X_n=x_n+\beta(x_n) f, Y_n=0)$
4. Supposons que l'on ait $N$ lentilles au total. On suppose que $n(x)$ est une fonction continue, donc le front d'onde est aussi une fonction continue. Soit $z=l(x)$ la fonction décrivant le front d'onde (surface sur laquelle l'amplitude complexe est constante).

 

 
 
 

On a mesuré une collection $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_N)$ de pentes du front d'onde en des points $(x_1, x_2, \ldots, x_N)$, avec $\beta_n=l'(x_n)$. On a fait une approximation au premier ordre : sur chaque lentille la variation d'indice est linéaire dont le front d'onde est plan. On peut alors reconstruire graphiquement le front d'onde de la manière suivante :

• Entre $x_n-\frac{a}{2}$ et $x_n+\frac{a}{2}$ (donc sur la lentille numéro $n$) on va tracer un segment de droite de pente $\beta_n$. Ce segment de droite représente la courbe de $l(x)$ approximée au premier ordre
• $l(x)$ étant continu, tous les segments de droite doivent se rejoindre aux extrémités pour former une ligne brisée continue
• cette méthode ne permet pas de mesurer la valeur de l'indice $n(\beta_c)$ mais seulement sa dérivée ; on obtient la courbe de $l(x)$ à une constante additive près (valeur de la phase sur le front d'onde).