Correction de l'examen optique

Session de Juin 2002

Diffraction

1. Amplitude complexe juste avant la traversée de la lentille :
$$f_0(x,y)=\psi_0\; \prod\left(\frac{x}{a}\right) \prod\left(\......\; \left[ \delta(x-\frac{d}{2}) + \delta(x+\frac{d}{2})\right]$$





Au foyer, l'amplitude est donnée par la TF de l'expression précédente

$$f_f(x,y)=2 \psi_0\;\frac{\exp ikf}{i\lambda f} a^2 \exp(\fra......lambda f}\right)\; \cos \left(\frac{\pi d x}{\lambda f}\right)$$
2. L'allure du plan focal est la suivante

 

 
 
 





On observe des franges d'Young à l'intérieur d'une ta

che dûe à la diffraction par les trous. Le nombre de franges visibles dans le lobe central est $2d/a$.

3. Le prisme dévie la lumière d'un angle égal à $q=(n-1)A$ en optique paraxiale. Quand on met un tel prisme sur un des trous, l'onde correspondant à ce trou est multipliée par un terme de phase correspondant au coefficient de transmission du prisme. L'amplitude complexe juste avant la lentille s'écrit
$$f_0(x,y)=\psi_0\; \prod\left(\frac{x+d/2}{a}\right) \prod\le......}\right)\; \exp \left(\frac{ 2 i \pi q(x-d/2)}{\lambda}\right)$$





L'amplitude au plan focal s'écrit donc comme

$$f_f(x,y)= \psi_0\;\frac{\exp ikf}{i\lambda f} a^2 \mbox{sinc......)}{\lambda f}\right)\;\exp -\frac{i\pi d x}{\lambda f}\right]$$





Lorsque $q\rightarrow 0$, on retombe sur la cas précédent : une fonction sinc striée de franges. Le lobe central de ette fonction sinc étant de largeur $2 \lambda f /a$.

Dans le cas contraire, le terme entre crochets est constitué de deux fonctions sinc, l'une centrée en 0 et l'autre en $qf$ multipliées par des termes de phase conjugués. Lorsque $qf\gg \lambda f /a$, les deux fonctions sinc du terme entre crochets ne se recouvrent pas ; l'intensité s'approxime par la somme des carrés des modules des deux termes (le double produit tend vers zéro) :

$$I_f(x,y)\simeq \frac{\vert\psi_0\vert^2}{\lambda f} a^4 \mbo......box{sinc}^2\left(\frac{\pi a (x-qf)}{\lambda f}\right)\right]$$





L'allure de la figure est la suivante : les franges ont disparu.




 
 

Lorsque $q$ est inférieur et de l'ordre de $f/a$, c'est le cas intermédiaire. Il y a recouvrement des termes entre crochets, ce recouvrement est strié de franges. La figure ressemblerait à celle-ci




 
 

4. Dans le cas de deux lasers différents, on sait que les ondes provenant de chacun de trous sont incohérentes entre elles. L'intensité sera alors simplement la somme des deux intensités diffractées par chacun des deux trous, soit simplement une tache en forme de sinc$^2$ dans laquelle les franges d'interférences auront disparu.

 

 
 
 
 

Cohérence spatiale

1. Largeur de cohérence spatiale : $\Lambda=\frac{\lambda}{\theta}$ avec $\theta$ le diamètre angulaire de la source (en radians bien sûr). Ici : $\Lambda$=24 mètres.
2. Deux antennes observent le Soleil à 21 cm de longueur d'onde ; on fait interférer les deux ondes. Si les antennes sont espacées de moins de la largeur de cohérence spatiale, on observe des franges avec un bon contraste. Donc si les antennes sont espacées de 5 m, des franges seront visibles. Si les antennes sont espacées de 100 m, le contraste des franges est trop faible et elles ne sont plus observables.

Spectroscopie

1. Au plan focal primaire $P_0$ on observe une tache d'Airy. Si $d$ est le diamètre de l'objectif principal, le diamètre de son premier anneau noir vaut
$$l=2.44 \frac{\lambda f}{d}=30 \mu m$$
2. Si $d\rightarrow\infty$ alors l'amplitude complexe tend vers une distribution $\delta$ et s'écrit
$$f_{P0}(x,y)=A \delta(x,y)$$





avec $A$ une constante. Cette amplitude est observée au foyer objet de la collimatrice. Au foyer image de la collimatrice (là où se trouve le réseau), on sait (cf cours sur le filtrage) que l'amplitude est proportionnelle à la TF de $f_{P0}(x,y)$ qui vaut $A$. Donc sur le réseau, l'amplitude complexe est constante : l'onde est plane sous incidence normale.

3. Si $a$ est la période du réseau, alors les différents ordres font avec l'axe optique des angles $\theta_p$ tels que
$$\sin \theta_p=p\frac{\lambda}{a}=0.3 p$$





L'ordre maximum observable correspond à la condition $-1\le \sin \theta_p\le 1$ et on en tire $-3\le p\le 3$ avec les valeurs numériques données.

4. Si $b$ est la taille du réseau (carré),l'amplitude en sortie du réseau s'écrit
$$f_r(x,y)=K\;\prod\left(\frac{x}{b}\right) \prod\left(\frac{y}{b}\right)\; \Pi\!\!\!\Pi \left(\frac{x}{a}\right)$$





avec $K$ une constante.

Le résean est dans le plan focal objet de la lentille de chambre, le plan $P_1$ est le plan focal image de la même lentille ; l'amplitude complexe dans le plan $P_1$ est donc donnée par

$$f_{P1}(x,y)=\frac{e^{ikf_2}}{i\lambda f_2} \hat f_r(\frac{x}{\lambda f_2},\frac{y}{\lambda f_2})$$





c'est à dire

$$f_{P1}(x,y)=K' \; \mbox{sinc}\left(\frac{\pi b y}{\lambda f_......ight)\; \ast \Pi\!\!\!\Pi \left(\frac{a x}{\lambda f_2}\right)$$





en mettant toutes les constantes dans $K'$. Si on pose $g(x,y)=\mbox{sinc}\left(\frac{\pi b y}{\lambda f_2}\right) \mbox{sinc}\left(\frac{\pi b x}{\lambda f_2}\right)$, alors l'intensité diffractée s'écrit (avec l'approximation habituelle de non superposition des ordres)

$$I_{P1}(x,y)=I_0 g(x,y)^2 \ast \Pi\!\!\!\Pi \left(\frac{a x}{\lambda f_2}\right) = I_0 \sum_{p=-3}^3g(x-p\lambda f_2/a,y)^2$$





A l'ordre 0 (terme =p=0) : $I_{P1}(x,y)= I_0 g(x,y)^2$, c'est la tache de diffraction d'une ouverture carrée de côté $b$. La taille du lobe central de cette figure est $l'=2 \lambda f_2/b=12\mu m$.

5. En totalité, nous avons 7 ordres observables, chacun donnant en $P_1$ une tache identique à celle correspondant à l'ordre zéro. Les différentes taches sont distantes de la quantité $\lambda f_2/a=18$ cm. Ce qui justifie a fortiori l'hypothèse de non-recouvrement des différents ordres.