Licence de Physique LP2b -- Electromagnétisme et optique

Correction de l'examen de Juin 2004

Optique

Cohérence temporelle

1. Eclairage monochromatique
   1. L'onde 2 arrive sur le miroir avec une incidence $\theta$ par rapport à sa normale. Elle en repart avec un angle $\theta_x=\pi/2-2 \theta$ (avec la convention que $\theta_x=0$ correspond à l'incidence normale). Posons $\alpha=\sin(\pi/2-2\theta)=\cos(2\theta)$ et $\gamma=\sin(2\theta)$. Le vecteur d'onde de l'onde 2 a pour composantes $\vec k_2=(\alpha,0,\gamma)$.

      L'onde 2 a au point $D$ une amplitude complexe $\frac{\psi_0}{2} \exp 2 i \pi d_1/\lambda$ Elle s'écrira, en un point $M$ de coordonnées $(x,y,d)$ sur l'écran $E$ :
      

      $$\psi_2(x)=\frac{\psi_0}{2} \exp i k d_1\; \exp i\vec k_2.\vec r= \exp ik(\alpha x+d_1+\gamma d)$$
      
      

      avec $k=2\pi/\lambda$. L'intensité des franges d'interférences s'écrit donc
      

      $$I(x)=\vert\psi_0\vert^2 (1+\cos k(\alpha x+d_1+\gamma d-d))$$
      
      

   2. Contraste 1, interfrange $\lambda/\alpha$.
   3. $x_c=\frac{d (1-\gamma)}{\alpha}-d_1$
2. Lumière blanche
   1. Idée : remplacer $\lambda$ par $c/\nu$ et $\vert\psi_0\vert^2$ par $dI_0=F(\nu) d\nu$. Puis intégrer sur $\nu$ et faire apparaitre la partie réelle d'une TF. Il vient
      
      $$I(x)=\hat F(0)+{\cal R}e \hat F \left( \frac{\alpha (x-x_c)}{c}\right)$$
      
      
      Le calcul de $\hat F$ donne
      
      $$\hat F(\tau)=K \Delta\nu \; \exp (-2 i \pi \nu_0\tau) \; \exp (-\pi \Delta\nu^2 \tau^2)$$
      
      
      Finalement l'intensité des franges s'écrit
      
      $$I(x)=K \Delta\nu \; [1+C(x) \cos(k\alpha (x-x_c)) ]$$
      
      

   2. Le contraste est
      
      $$C(x)=\exp (-\frac{\pi \Delta\nu^2 \alpha^2 (x-x_c)^2}{c^2})$$
      
      
      Gaussienne centrée sur $x_c$ et de largeur de l'ordre de $c/(\alpha\Delta\nu)$.
   3. Intensité des franges pour $\nu_0/\Delta\nu\simeq 10$

      

Réseau et filtrage

1. $\zeta$ est sans dimension
2. Pouvoir de résolution $R=p L/a=100 p$. Le doublet du sodium correspond à $\lambda/\delta\lambda\simeq 1000$ donc il sera observable à partir de l'ordre 10 (ou -10...).
3. L'amplitude dans le plan image s'écrit, si on appelle $\psi_0$ l'amplitude incidente et $t(x,y)$ le coefficient de transmission du masque (tenant compte de la limitation par le diaphragme)
   
   $$f_2(x,y)=\frac{e^{i k f}}{i \lambda f} \psi_0 \hat t \left(\frac{x}{\lambda f},\frac{y}{\lambda f}\right)$$
   
   
   avec $t(x,y)=\zeta \Pi\!\!\!\Pi \left(\frac{x}{a}\right)\left(\frac{y}{a}\right) \prod \left(\frac{x}{L}\right) \prod \left(\frac{y}{L}\right)$. Il vient
   
   $$f_2(x,y)=\zeta \psi_0 a^2 L^2 \frac{e^{i k f}}{i \lambda f} ... ...ast \mbox{sinc} \left(\frac{\pi L y}{\lambda f} \right)\right)$$
   
   
   C'est à dire la périodisation d'une fonction sinc de largeur $\lambda f/L$=0.1mm dans les deux directions par un sha de période $\lambda f/a$=1cm dans les deux directions. Au vu des ordres de grandeur ($L=100 a$) les différents motifs sont très espacés les uns des autres (pas de recouvrement entre les termes).

   La figure ci-après montre l'aspect du plan focal image (intensité). Le rapport $L/a$ a été réduit pour la figure (en réalité chaque sinc a un support beaucoup plus petit)

   

4. Si l'éclairage se fait avec deux longueurs d'ondes, on aura la superposition de 2 figures d'intensité presque identiques (l'une avec $\lambda_1$ et l'autre avec $\lambda_2$). Chaque tache sera dédoublée. Les position des taches correspondant à $\lambda_1$ sont $(x_n=n\lambda_1 f/a, y_m=m\lambda_1 f/a)$ et celles correspondant à $\lambda_2$ sont $(x'_n=n\lambda_2 f/a, y'_m=m\lambda_2 f/a)$. Les largeurs individuelles des taches sont presques les mêmes pour les deux longueurs d'onde car $\lambda_1\simeq \lambda_2$. La tache centrale correspondant à $(x_0=0,y_0=0)$ n'est pas dédoublée. L'image ressemble à la figure ci-dessous (là encore la valeur de $L/a$ n'est pas respectée)

   

5. Le filtrage s'effectue avec le montage classique à deux lentilles décrit dans le cours. Le diaphragme circulaire a un rayon de 2 mm. L'espacement entre les taches est de 1 cm et leur taille est de 0.1 mm. Le trou ne laissera alors passer que la tache centrale. L'amplitude juste à la sortie du trou s'écrit alors
   
   $$f_{2+}(x,y)=Cte\; \mbox{sinc} \left(\frac{\pi L x}{\lambda f} \right) \mbox{sinc} \left(\frac{\pi L y}{\lambda f} \right)$$
   
   
   L'amplitude complexe $f_3$ de l'objet filtré est proportionnelle à la TF de $f_2+$. Il vient
   
   $$f_3(x,y)=Cte' \prod \left(\frac{x}{L}\right) \prod \left(\frac{y}{L}\right)$$
   
   
   L'effet du filtrage a été de supprimer la grille de petits points pour ne retrouver que le diaphragme carré de côté $L$.