LP2 - LPC4 : Examen partiel de Janvier 1998

Exercice

Un rayon lumineux arrive sous incidence normale sur un cristal uniaxe dont l'axe Z parallèle au plan xz fait un angle tex2html_wrap_inline104 avec la normale à la surface de séparation. On suppose tex2html_wrap_inline106 .

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  1. Rappeler comment on construit les rayons ordinaire et extraordinaire et préciser sur le dessin les directions des vecteurs tex2html_wrap_inline108 et tex2html_wrap_inline110 (on ne demande pas de calculs mais on donnera des explications précises quant à cette construction).
  2.  Le rayon incident étant polarisé elliptiquement comme indiqué sur la figure 2 :


    3. tex2html_wrap134

    1. Justifier que les composantes du champ électrique s'écrivent :


      2. displaymath96

      displaymath97

    2. En faisant l'approximation tex2html_wrap_inline112 déterminer le rapport des intensités des rayons ordinaire et extraordinaire.
  3. le cristal est taillé en lame à faces parallèles d'épaisseur l.
    1. Pourquoi les rayons sortants sont-ils parallèles à l'axe z ?
    2.  Déterminer la différence de chemin optique relative tex2html_wrap_inline118 introduite par la lame pour ces deux rayons. On rappelle l'équation


      3. displaymath120

      de la surface des vecteurs d'onde rapportée à la direction Z de l'axe du cristal et une direction X qui lui est perpendiculaire. On exprimera tex2html_wrap_inline118 en fonction de tex2html_wrap_inline128 et l.


Problème : Interférences à N trous en lumière cohérente et incohérente

Le but est de rétablir certains résultats vus en cours (ou en TD) d'une manière (un peu) différente. Toutes les questions peuvent être abordées indépendamment (à condition de lire...et comprendre...l'énoncé).

I. Une onde plane parfaitement cohérente (faisceau laser) de longueur d'onde tex2html_wrap_inline140 , vecteur unitaire tex2html_wrap_inline142 éclaire un ensemble de N trous, considérés comme ponctuels, situés dans le plan z=0 en des points de coordonnées tex2html_wrap_inline148 . On s'intéresse à l'intensité lumineuse ``à l'infini'', en fait à grande distance D. Un point d'observation M sera caractérisé par les composantes tex2html_wrap_inline154 du vecteur unitaire de direction tex2html_wrap_inline156 (cf. figure).

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  1. Montrer que si les trous sont identiques, l'intensité est proportionnelle à :


    2. displaymath136

  2. On considère des trous alignés selon Ox : tex2html_wrap_inline160 . Décrire, dans le plan tex2html_wrap_inline162 ( tex2html_wrap_inline164 , tex2html_wrap_inline166 fixés) l'intensité observée lorsque :
    1. On a deux trous séparés de a
    2.  On a N trous équidistants de a (N grand).

      3. On posera tex2html_wrap_inline176  ; on rappelle que

      displaymath178

    3. Les trous sont situés en :


      4. displaymath180

      ( tex2html_wrap_inline182 , N grand). En effectuant le développement

      displaymath186

      et en écrivant le sinus comme somme de deux exponentielles, montrer l'existence de pics d'intensité supplémentaires (ghosts) voisins de ceux établis en (b) (sauf près de tex2html_wrap_inline188 )

  3. On considère des trous disposés aléatoirement autour de O dans une région de dimension transverse tex2html_wrap_inline192 . L'expérience montre une figure de speckles dans le plan d'observation considéré précédemment.
    1. Qu'est-ce qu'une telle figure ?
    2.  Expliquer clairement pourquoi l'intensité en M varie peu si tex2html_wrap_inline196 (ou tex2html_wrap_inline198 ) est inférieur ou égal à une quantité de l'ordre de tex2html_wrap_inline200 .
    3.  Comparer la taille d'un speckle à la largeur de cohérence en M de la lumière qui serait dûe à une source incohérente de largeur L dans le plan z=0.
II. On éclaire les trous avec une source à l'infini, incohérente, de longueur d'onde tex2html_wrap_inline140 , de répartition d'intensité tex2html_wrap_inline210 . L'intensité observée dans la direction tex2html_wrap_inline212 est notée tex2html_wrap_inline214 .
    1. Qu'est-ce qu'une source (spatialement) incohérente ?
    2.  Les trous étant identiques, relier (à un coefficient multiplicatif près) les fonctions I, tex2html_wrap_inline218 et F
    3.  En écrivant


      4. displaymath222

      et en posant

      displaymath224

      montrer que

      displaymath226

    4. Interpréter le résultat obtenu en c en terme de filtrage de la source par la pupille des N trous. Quelle est la fonction de transfert ? (Question importante, bien détailler les explications)
    1. Dans le cas de deux trous identiques alignés selon Ox et distants de a, montrer que tex2html_wrap_inline214 est périodique de période tex2html_wrap_inline236 en tex2html_wrap_inline238 et a un contraste


      2. displaymath240

      On rapellera la définition du constraste.

    2.  Pour une source circulaire, uniforme en intensité, centrée dans la direction tex2html_wrap_inline242 et de diamètre apparent tex2html_wrap_inline244 , pour quelle valeur minimale de a le contraste s'annule-t'il ? Citer une application physique.
  1. On considère le cas où les trous ne sont pas identiques et où F s'écrit


    2. displaymath250

    1. Que peuvent prendre en compte le module et la phase de tex2html_wrap_inline252 ?
    2.  Comment est modifiée la formule établie en 1 (c) ? En déduire que pour une pupille continue, la fonction de transfert est proportionnelle à la fonction d'autocorrélation


      3. displaymath254

      (on ne demande pas une démonstration mathématiquement rigoureuse)