L3 Physique -- Second partiel d'optique 2012-2013

durée 2h

Documents autorisés : une feuille A4 recto-verso manuscrite, formulaire de TF. Pas de calculatrice.

Interféromètre de Mach-Zehnder

Le dispositif ci-dessous est un interféromètre de Mach-Zehnder. Il est constitué de deux miroirs parfaitement réfléchissants $M_1$ et $M_2$ et et deux lames séparatrices identiques $S_1$ et $S_2$ dont les coefficients de transmission et de réflexion en amplitude, de valeurs quelconques, sont notés respectivement $t$ et $r$.

L'onde incidente, d'amplitude $E_0$ dans le plan $z=0$ est plane et se propage parallèlement à l'axe $z$ dans la direction des $z>0$. Elle est divisée en deux ondes planes (notées 1 et 2) par $S_1$. L'onde 1 se réfléchit sur $M_1$ et traverse une lame à faces parallèles d'indice $n$ et d'épaisseur $e$, avant de traverser $S_2$. On suppose que la lame à faces parallèles est parfaitement transparente et de dimension infinie. L'onde 2 se réfléchit sur $M_2$ puis sur $S_2$, et interfère ensuite avec l'onde 1. L'interférence est observée sur un écran noté $E$.

On note $d_1$ la distance entre l'origine et le centre de la première séparatrice $S_1$, $d$ la distance $S_1 M_1$, $M_1 S_2$, $S_1 M_2$, $M_2 S_2$ et $d_2$ la distance $S_2 E$ (voir schéma).

\includegraphics[width=12cm]{mczender.eps}

Dans la première partie du problème, l'éclairage est monochromatique. La longueur d'onde est notée $\lambda$, la fréquence $\nu$ et l'amplitude complexe de l'onde dans le plan $z=0$ est $\psi_0$.

  1. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde 2 sur l'écran $E$.
  2. Ecrire le coefficient de transmission $L(x,y)$ de la lame à faces parallèles se trouvant sur le trajet de l'onde $1$.
  3. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde 1 sur l'écran $E$.
  4. Ecrire l'intensité sur l'écran $E$ en fonction de la longueur d'onde $\lambda$. Décrire l'image observée dans le plan $E$.
  5. A quelle condition sur $e$ a-t-on une intensité nulle sur l'écran $E$ ?
  6. Donner le retard $\tau$ entre les ondes 1 et 2 et réécrire l'intensité en fonction de $\tau$ et de la fréquence $\nu$.
On considère maintenant une onde de spectre $F(\nu)$ gaussien centré autour d'une fréquence $\nu_0$ et de largeur de raie $\Delta\nu$. Ce spectre s'écrit $F(\nu)=F_0 \exp\left(-\pi \left(\frac{\nu-\nu_0}{\Delta\nu}\right)^2\right)$ avec $\nu_0\gg\Delta\nu$.
  1. Ecrire le profil de raie $P(\nu)$ de cette onde.
  2. Ecrire en fonction du retard $\tau$ l'intensité $dI$ créée sur l'écran $E$ par une bande de fréquences $[\nu,\nu+d\nu]$.
  3. Ecrire en fonction du retard $\tau$ l'expression de l'intensité $I(\tau)$ sur l'écran $E$
  4. On fait varier l'épaisseur $e$ de la lame $L$ à partir de $e=0$. Tracer la courbe de l'intensité en fonction de $e$ (mettre sur le graphe toutes les annotations qui vous paraissent pertinentes).
  5. Expliquer pourquoi les ondes 1 et 2 deviennent incohérentes entre elles quand $e$ devient grand (il n'est pas demandé de calcul).
  6. Donner un ordre de grandeur de la valeur maximale $e_M$ que peut prendre $e$ pour que les ondes 1 et 2 soient cohérentes entre elles. Ecrire $e_M$ en fonction de la longueur de cohérence $l_c$.
  7. A partir du résultat de la question 8, expliquer pourquoi certaines fréquences sont éteintes à la sortie de l'interféromètre (on parle de ``spectre cannelé''). Ecrire les fréquences manquantes en fonction de $e$ et donner en fonction de $\Delta\nu$ un ordre de grandeur du nombre de cannelures dans le spectre de l'onde (dépendance de $dI$ avec $\nu$) dans le plan $E$.

Anneau circumstellaire

Une étoile supposée ponctuelle est entourée d'un anneau de matière circulaire qui émet de la lumière. L'ensemble étoile+anneau constitue une source spatialement incohérente monochromatique (longueur d'onde $\lambda$) dont la distribution angulaire de brillance est représentée par la fonction $O(\alpha,\beta)=I_0 \delta(\alpha,\beta)+I_1 \delta(r-\theta_0)$ avec $r=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$. On suppose que $I_0$, $I_1$ et $\theta_0$ sont positifs avec $I_1< I_0$ (étoile plus brillante que l'anneau). Cette source est observée par un interféromètre à deux télescopes de base $B>0$ orientés parallèlement à la direction $\hat \alpha$. Ces deux télescopes sont assimilables à des trous d'Young comme dans le schéma ci-dessous. On note $d$ la distance entre le plan des trous et le plan d'observation des franges ($d$ est assez grand pour faire l'approximation de Fraunhofer entre le plan des trous et le plan des franges).

\includegraphics[width=10cm]{cspat.eps}

  1. Rappeler la condition sur $d$, $B$ et $\lambda$ pour que l'on puisse faire l'approximation de Fraunhofer entre le plan des trous et le plan des franges
  2. Rappeler ce qu'est une source spatialement incohérente.
  3. Rappeler la signification physique de la largeur de cohérence spatiale $\Lambda$ et donner son expression dans le cas de cette source étoile+anneau.
  4. Calculer le degré complexe de cohérence spatiale $\gamma(B)$. On pourra simplifier l'expression en considérant $\theta_0\ll 1$.
  5. En déduire le contraste $C(B)$ des franges d'Young.
  6. A l'aide de la table de $J_0$ ci-après donner, en fonction de $\theta_0$, la première valeur $B_1$ de $B$ pour laquelle le contraste passe par un minimum (on rappelle que $2\pi \simeq 6$).
  7. Rappeler ce qu'on appelle ``inversion de contraste''. Avec les hypothèses de l'énoncé, ce phénomène s'observe-t'il ici (justifiez votre réponse) et si oui, pour quelles valeurs de $B$ ?
  8. Ecrire l'intensité des franges d'Young $I(x)$.
  9. Tracer le graphe de $I(x)$ dans 2 cas : $B<B_1$ et $B=B_1$. Portez sur votre graphe toutes les annotations pertinentes.
  10. On observe le premier minimum de contraste pour $B_1=1$m en observant à la longueur d'onde $\lambda=1\mu$m. Quel est alors le diamètre angulaire de l'anneau de matière autour de l'étoile (on rappelle que 1 seconde d'arc=5. $10^{-6}$ rad).
Table de valeurs de la fonction de Bessel $J_0$
$x$ $J_0(x)$ $x$ $J_0(x)$ $x$ $J_0(x)$ $x$ $J_0(x)$
0.0 1.00 1.8 0.34 3.6 -0.39 5.4 -0.04
0.1 0.99 1.9 0.28 3.7 -0.39 5.5 -0.00
0.2 0.99 2.0 0.22 3.8 -0.40 5.6 0.02
0.3 0.97 2.1 0.16 3.9 -0.40 5.7 0.05
0.4 0.96 2.2 0.11 4.0 -0.39 5.8 0.09
0.5 0.93 2.3 0.05 4.1 -0.38 5.9 0.12
0.6 0.91 2.4 0.00 4.2 -0.37 6.0 0.15
0.7 0.88 2.5 -0.04 4.3 -0.36 6.1 0.17
0.8 0.84 2.6 -0.09 4.4 -0.34 6.2 0.20
0.9 0.80 2.7 -0.14 4.5 -0.32 6.3 0.22
1.0 0.76 2.8 -0.18 4.6 -0.29 6.4 0.24
1.1 0.71 2.9 -0.22 4.7 -0.26 6.5 0.26
1.2 0.67 3.0 -0.26 4.8 -0.24 6.6 0.27
1.3 0.62 3.1 -0.29 4.9 -0.20 6.7 0.28
1.4 0.56 3.2 -0.32 5.0 -0.17 6.8 0.29
1.5 0.51 3.3 -0.34 5.1 -0.14 6.9 0.29
1.6 0.45 3.4 -0.36 5.2 -0.11 7.0 0.30
1.7 0.39 3.5 -0.38 5.3 -0.07 $\infty$ 0.00