L3 Physique -- Correction du premier partiel d'optique

4 Mars 2015

Questions de cours

1. Quand une onde se propage d'un plan $z_1$ à un plan $z_2$, chaque point du front d'onde dans le plan $z_1$ se comporte comme une source ponctuelle émettant une onde sphérique (ondelette de Huyghens). La somme des amplitudes complexes de toutes ces ondes sphériques donne l'amplitude complexe dans le plan $z_2$.

2. Le 1er prisme a une fonction épaisseur $e_1(x)=Ax$, dans l'intervalle $0<x<a$. Son coefficient de transmission, dans cet intervalle, est $t_1(x)=\exp[ik(n-1)Ax]$.

   Le 2e prisme a une épaisseur $e_2(x)=A(a-x)$, dans l'intervalle $0<x<a$. Le coefficient de transmission associé est $t_2(x)=\exp[ik(n'-1)A(a-x)]$.

   Le coefficient de transmission de l'ensemble, incluant la limitation à l'intervalle $0<x<a$ est donc :
   

   $$t(x)=\Pi\left(\frac{x-\frac a 2}{a}\right)\, t_1(x)\, t_2(x... ...frac{x-\frac a 2}{a}\right)\, e^{ik(n'-1)aA}\, e^{ik(n-n')Ax}$$
   
   

Interférences : miroir de Lloyd

1. Conditions pour l'approximation paraxiale : $d\gg (\frac{\rho^4}\lambda)^{1/3}$ avec $\rho^2=x^2+y^2$. la réponse $\rho\gg d$ est acceptée aussi. Pas de condition sur $a$.
2. Problème équivalent au miroir : une source secondaire $S'$ en $(0,0,-2a)$ (symétrique de $S$ par rapport au miroir). La distance entre $S$ et $S'$ est $2a$.
3. Amplitude complexe de l'onde 1 (dans l'approximation paraxiale) :
   
   $$\psi_1(x,y,d)=\frac{\psi_0}{d}\, e^{ikd}\, \exp({\frac{i\pi \rho^2}{\lambda d}})$$
   
   

4. Amplitude complexe de l'onde 2 : l'expression est identique en remplaçant $d$ par $d+2a$. Et en multipliant par le coefficient de réflexion $r$ du miroir. Il vient
   
   $$\psi_2(x,y,d)=\frac{r \psi_0}{d+2a}\, e^{ik(d+2a)}\, \exp\left({\frac{i\pi \rho^2}{\lambda (d+2a)}}\right)$$
   
   
   L'hypothèse $d\gg a$ entraine le développement limité $\frac{1}{d+2a}\simeq \frac 1 d -\frac{2a}{d^2}$. Ce développement peut-ètre simplifié à $\frac 1 d$ dans le terme $\frac{r \psi_0}{d+2a}$. Il vient
   
   $$\psi_2(x,y,d)\simeq \frac{r \psi_0}{d}\, e^{ik(d+2a)}\, \ex... ...ight) \, \exp\left(-\frac{2i\pi a \rho^2}{\lambda d^2}\right)$$
   
   

5. Intensité en $M$ : $I(x,y)=\vert\psi_1+\psi_2\vert^2$. On obtient
   
   $$I(x,y)=\frac{\vert\psi_0\vert^2 (1+r^2)}{d^2}\, \left[1+\fr... ...a}{\lambda} \left(\frac{\rho^2}{2d^2}-1\right) \right)\right]$$
   
   

6. Ce sont des anneaux car l'intensité est constante lorsque $\rho$ est constant (équation d'un cercle dans le plan $xy$).

7. Contraste : $$C=\left\vert \frac{2r}{1+r^2}\right\vert$$. Lorsque $r$ est faible, on peut négliger $r^2$ devant 1, et $C \simeq \vert 2r\vert$. On obtient un contraste $> 5\%$ si $\vert r\vert>0.025$.

8. Si $a=N \lambda$ avec $N$ entier alors l'intensité se simplifie :
   
   $$I(x,y)=\frac{\vert\psi_0\vert^2 (1+r^2)}{d^2}\, \left[1+\fr... ...{1+r^2} \, \cos\left(2\pi N \frac{\rho^2}{d^2} \right)\right]$$
   
   
   1. Cas $r=1$ : Le contraste vaut 1, l'intensité est maximale au centre et le rayon des anneaux brillants est $r_p=d\sqrt{p/N}$ avec $p$ le numéro de l'anneau. Le graphe ci dessous correspond à $N=1000$ et $d=100$ mm. $x$ est en mm.

      

   2. Cas $r=-1$ : Le contraste vaut toujours 1, mais le terme $\frac{2r}{1+r^2}$ est négatif, on a donc une inversion de contraste (les anneaux brillants deviennent sombre). L'intensité est nulle au centre. Graphe (mêmes conditions que la question précédentes)

      

   3. Cas $r=0$ : le contraste est nul, l'intensité est uniforme. Il n'y a pas de franges, car il n'y a en réalité pas d'interférences : l'onde $\psi_2$ n'existe pas (miroir non réfléchissant). Le plan $z=d$ est uniquement éclairé par l'onde $\psi_1$.

9. Premier zéro de $I(x,0)$ lorsque $r=1$ : $x_0=d\sqrt{\frac{\lambda}{2a}}$

Trous éclairés par une source ponctuelle

1. C'est une onde sphérique divergente dans l'approximation paraxiale :
   
   $$f_0(x,y)=\frac{\psi_0}{z_0}\, e^{ikz_0}\, e^{\frac{i\pi\rho^2}{\lambda z_0}}$$
   
   
   avec $\rho^2=x^2+y^2$.
2. Coefficient de transmission
   
   $$t(x,y)=\Pi\left(\frac{x-\frac a 2}{l}\right)\Pi\left(\frac{y}... ...\left(\frac{x+\frac a 2}{l}\right)\Pi\left(\frac{y}{l}\right)$$
   
   

3. Limite $l\longrightarrow 0$ : $\Pi\left(\frac{x}{l}\right)\longrightarrow l\delta(x)$. Il vient
   
   $$t(x,y)=l^2 \delta(x-\frac a 2,y)+ l^2 \delta(x+\frac a 2,y)$$
   
   

4. La condition est $z\gg \frac{a^2}{\lambda}$

5. Calcul de $f_z(x,y)$ : on part de l'amplitude en $z=0^+$
   
   $$f_{0+}(x,y)=f_0(x,y)\, t(x,y) \;=\; \frac{\psi_0 l^2}{z_0}\... ...mbda z_0}}\: [ \delta(x-\frac a 2,y) + \delta(x+\frac a 2,y)]$$
   
   

   et en utilisant l'identité $f(x)\delta(x-a)=f(a)\delta(x-a)$ il vient
   

   $$f_{0+}(x,y)={\psi_0 l^2}{z_0}\, e^{ikz_0}\, e^{\frac{i\pi a... ...bda z_0}} \: [ \delta(x-\frac a 2,y) + \delta(x+\frac a 2,y)]$$
   
   

   Dans la suite on posera $A={\psi_0 l^2}{z_0}\, e^{ikz_0}\, e^{\frac{i\pi a^2}{4\lambda z_0}}$. L'amplitude complexe en $z$ s'écrit, dans l'approximation de Fraunhofer
   

   $$f_z(x,y)=\frac{e^{ikz}}{i\lambda z}\, \hat f_{0+}\left(\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z} \right)$$
   
   

   le calcul donne $\hat f_{0+}(u,v)=2A \cos(\pi u a)$. On a donc
   

   $$f_z(x,y)=\frac{2A e^{ikz}}{i\lambda z}\,\cos\left(\frac{\pi a x}{\lambda z}\right)$$
   
   

6. L'intensité s'écrit
   
   $$I_z(x,y)=\frac{4\vert A\vert^2}{\lambda^2 z^2}\,\cos^2\left(\frac{\pi a x}{\lambda z}\right)$$
   
   
   Ce sont des franges d'Young de contraste 1 et d'interfrange $\lambda z/a$.

7. Graphe de l'intensité $I_z(x,0)$ (avec $\lambda z /a=1$ pour le graphe) et...
8. ...allure de l'image

   

9. Dans le cas où $l$ n'est plus faible, il faut utiliser le coefficient de transmission complet. L'amplitude dans le plan $z=0^+$ devient
   
   $$f_{0+}(x,y)={\psi_0}{z_0}\, e^{ikz_0}\, \, e^{\frac{i\pi\rh... ...c{x+\frac a 2}{l}\right)\Pi\left(\frac{y}{l}\right) \right]$$
   
   

   Dans ce cas le calcul de la TF de $f_{0+}(x,y)$ intervenant dans l'expression de l'amplitude $f_1(x,y)$ fait intervenir un produit de convolution :
   

   $$\hat f_{0+}(u,v)=C^{te} TF\left[ e^{\frac{i\pi\rho^2}{\lamb... ...c{x+\frac a 2}{l}\right)\Pi\left(\frac{y}{l}\right) \right]$$
   
   
   ce produit de convolution n'a pas de forme analytique simple.

10. Ajout d'une lentille convergente de focale $z_0$ juste après le masque à deux trous. Le coefficient de transmission de cette lentille est $L(x,y)=\exp(-\frac{i\pi\rho^2}{\lambda z_0})$ L'ensemble lentille+masque a donc pour coefficient de transmission le produit de $t$ par $L$ :
    
    $$t_2(x,y)=\exp(-\frac{i\pi\rho^2}{\lambda z_0})\: \left[\Pi\... ...rac{x+\frac a 2}{l}\right)\Pi\left(\frac{y}{l}\right) \right]$$
    
    
    et l'amplitude dans le plan $z=0^+$ devient
    
    $$f_{0+}(x,y)={\psi_0}{z_0}\, e^{ikz_0}\, \, e^{\frac{i\pi\rh... ...{l}\right) \right] \; \exp(-\frac{i\pi\rho^2}{\lambda z_0})$$
    
    
    d'où

    
    

    $$f_{0+}(x,y)={\psi_0}{z_0}\, e^{ikz_0}\,\left[ \Pi\left(\f... ...c{x+\frac a 2}{l}\right)\Pi\left(\frac{y}{l}\right) \right]$$
    
    
    il y a une élimination du terme de phase quadratique en facteur des portes, comme si les portes avaient été éclairées par une onde plane d'amplitude constante. On retrouve le fait que lorsqu'on met un point source au foyer objet d'une lentille convergente, l'onde en ressort plane. L'amplitude $f_z(x,y)$ est alors facile à calculer (la convolution gênante a disparu). Il vient
    
    $$f_z(x,y)=\frac{\psi_0 l^2}{z_0}\, e^{ik(z+z_0)}\: \mbox{sin... ...z}\right)\: \mbox{sinc}\left(\frac{\pi l y}{\lambda z}\right)$$
    
    

11. L'intensité est
    
    $$I_z(x,y)=\frac{\vert\psi_0\vert^2 l^4}{z_0^2}\; \mbox{sinc}... ...\right)\: \mbox{sinc}^2\left(\frac{\pi l y}{\lambda z}\right)$$
    
    
    Il s'agit d'une figure de franges d'Young identique à celles de la question 6, multipliée par une enveloppe en forme de sinc$^2$ dans les deux directions (c'est la tache de diffraction d'un trou carré) . Le graphe $I_z(x,0)$ pour $l=a/4$ est tracé ci-dessous (en vert l'enveloppe des franges $\mbox{sinc}^2\left(\frac{\pi l x}{\lambda z}\right)$).

    

12. Aspect de l'image bidimensionnelle :