Correction du premier Partiel

14 Novembre 2008

Mire de Ronchi

1. La période est $2a$ . Pour le coefficient de transmission les trois expressions suivantes sont valables :
   $$t(x,y)=\prod\left(\frac{x}{a}\right) \ast \mathop{\textcyrillic{\... ...}{2a}\right)\; = \;\sum_{n=-\infty}^\infty \prod\left(\frac{x-2 n a}{a}\right)$$

2. On met $t(x,y)$ sous forme d'une série de Fourier (formule de Poisson). Il vient
   $$t(x,y)=\frac{1}{2a} \sum_{n=-\infty}^\infty a\:$$   sinc$$(\pi n/2)\: e^{i \pi n x/a}$$
   l'amplitude complexe $f_0(x,y)$ en $z=0$ s'écrit donc, en faisant apparaitre $\lambda$ :
   $$f_0(x,y)=\frac{\psi_0}{2} \sum_{n=-\infty}^\infty$$   sinc$$(\pi n/2)\: \exp \left(\frac{2 i\pi}{\lambda} \, x \, \frac{n \lambda }{2 a} \right)$$
   on reconnait une somme d'ondes planes dans le plan $z=0$ caractérisées par des directions $\alpha_n=\frac{n \lambda }{2 a}, \beta_n=0$
3. La TF du coefficient de transmission s'écrit
   $$\hat t(u,v)=a\:$$   sinc$$(\pi u a)\:\mathop{\textcyrillic{\CYRSH}}(2 a u)\:\delta(v)$$
   donc l'intensité diffractée à l'infini s'écrit
   $$I(\alpha,\beta)=\frac{\vert\psi_0\vert^2 \lambda^2}{4 r^2}\; \sum_{n=-\infty}^\infty$$   sinc$$^2 (\pi n/2)\; \delta^2(\alpha-\alpha_n)\: \delta^2(\beta)$$

4. Les ordres $n$ pairs ``tombent'' sur les zéros du sinc, ils annulent le coefficient sinc$^2 (\pi n/2)$ sauf l'ordre $n=0$ . Ils sont absents de la figure de diffraction.
5. L'intensité est infinie pour $\beta=0$ (présence d'un $\delta(\beta)$ ). On trace en fait ce qui est en facteur de $\delta^2(\beta)$ , c'est à dire la quantité $$\sum_{n=-\infty}^\infty$$   sinc$^2 (\pi n/2)\; \delta^2(\alpha-\alpha_n)$ qui décrit la dépendance de l'intensité avec $\alpha$ sur l'axe $\beta=0$ .
6. L'ordre maximal observable est donné par la condition $\alpha_n\le 1$ car $\alpha_n$ est un sinus. Avec les valeurs numériques celà donne $n_{max}=8$ mais comme les ordres pairs sont éteints on a donc $n_{max}=7$ et 9 pics observables (les impairs de -7 à 7 plus le zéro).
7. La largeur des portes devient $a-\epsilon$ . La période du réseau est inchangée donc $\alpha_n$ aussi. L'intensité s'écrit
   $$I(\alpha,\beta)=\frac{\vert\psi_0\vert^2 \lambda^2 (a-\epsilon)^2}{4 r^2 a^2}\; \sum_{n=-\infty}^\infty$$   sinc$$^2 \left(\pi n \frac{a-\epsilon}{2 a}\right)\; \delta^2(\alpha-\alpha_n)\: \delta^2(\beta)$$
   Cette fois les ordres pairs sont observables car ils ``tombent'' légèrement à côté des zéros du sinc.
8. Si le réseau est tronqué le coefficient de transmission $t(x,y)$ est multiplié par une porte $\Pi(x/L)$ . L'amplitude diffractée est convoluée par $L \:$sinc$(\pi L \alpha/\lambda)$ , chaque pic de Dirac est alors remplacé par ce sinc. La condition $L\gg a$ assure que les sinc ne se recouvrent pas. L'intensité diffractée s'écrit
   $$I(\alpha,\beta)=\frac{\vert\psi_0\vert^2 L^2}{4 r^2}\; \sum_{n=-\infty}^\infty$$   sinc$$^2 (\pi n/2)\;$$   sinc$$^2\left(\pi L \frac{\alpha-\alpha_n}{\lambda}\right)\: \delta^2(\beta)$$
   Le pouvoir de résolution dans l'ordre $p$ est $$\frac{pL}{2a}$$ (à écrire sans démonstration).

Filtrage d'une fente

Montage double diffraction

$\parbox{10cm}{Intensit\'e dans le plan $P_0$\ en sortie de la fente. Dans ce cas la hauteur suivant $y$\ a \'et\'e prise de taille finie.\vskip 3cm}$

1. Amplitude dans le plan $P_1$ :
   $$f_1(x_1,y_1)=\frac{\psi_0 \, a b \, e^{2 i kF_1}}{i} \: x_1\:$$   sinc$$\left(\pi\frac{a x_1}{\lambda F_1}\right)\: \delta(y_1)$$
   ce qui se simplifie en utilisant la relation sinc$(X)=\sin(X)/X$ :
   $$f_1(x_1,y_1)=\frac{\psi_0 \, b \, \lambda F_1\, e^{2 i k F_1}}{i} \: \sin\left(\pi\frac{a x_1}{\lambda F_1}\right)\: \delta(y_1)$$

2. L'intensité s'écrit
   $$I(x_1,y_1)=\vert\psi_0\vert^2 \, b^2 \, \lambda^2 F_1^2 \: \sin^2\left(\pi\frac{a x_1}{\lambda F_1}\right)\: \delta^2(y_1)$$
   Comme dans l'exercice 1, on trace $I(x_1,0)$ en omettant le terme $\delta^2(y_1)$ .

   

3. Dans le plan $P_2$ l'amplitude s'écrit
   $$f_2(x,y)=\frac{-\psi_0 \, b \, \lambda F_1\, e^{2 i k (F_1+F_2)}}... ...(x+a \frac{F_2}{2 F_1}\right)-\delta\left(x-a \frac{F_2}{2 F_1}\right) \right)$$
   Les deux pics de Dirac ne sont pas dans le même sens, celui de droite (situé en $x=a \frac{F_2}{F_1}$ ) est négatif.
4. Intensité :
   $$I_2(x,y)=\frac{\vert\psi_0\vert^2 \, b^2 \, \lambda^2 F_1^2}{4}\:... ...+a \frac{F_2}{2 F_1}\right)-\delta^2\left(x-a \frac{F_2}{2 F_1}\right) \right)$$
   

Montage triple diffraction

1. En sortie de la lame, les deux pics de Diracs sont dans le même sens (négatifs tous les deux) :
   $$f_2(x,y)=\frac{-\psi_0 \, b \, \lambda F_1\, e^{2 i k (F_1+F_2)}}... ...(x+a \frac{F_2}{2 F_1}\right)-\delta\left(x-a \frac{F_2}{2 F_1}\right) \right)$$

2. Amplitude dans le plan $P_3$ :
   $$f_3(x,y)=\frac{\psi_0 \, b \, F_1\, e^{2 i k (F_1+2 F_2)}}{ F_2} \: \cos\left( \pi\frac{x a}{\lambda F_1}\right)\: \delta(y)$$
   ce sont des franges du même type que celles produites par des fentes de Young.
3. Intensité dans le plan $P_2$
   $$I_3(x,y)=\frac{\vert\psi_0\vert^2 \, b^2 \, F_1^2}{ F_2^2} \: \cos^2\left( \pi\frac{x a}{\lambda F_1}\right)\: \delta^2(y)$$
   Au centre de la figure l'intensité est maximale (frange brillante).
   

   

4. Contraste 1. Fréquences spatiales : 0, $$\pm \frac{a}{\lambda F_1}$$