Correction du premier partiel d'optique

3 Novembre 2009

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Fente fine

1. Le coefficient de transmission doit être sans dimension. La quantité $\delta(y)$ est l'inverse d'une longueur, $a$ est donc sans dimension.
2. Le masque placé dans le plan $z=0$ est de taille $L$ ; l'approximation du champ lointain est donc valable quand $z>\frac{L^2}{\lambda}$
3. Diffraction à l'infini
   1. Graphe $t(x,0)$ .
      
   2. $$t(x,y)=\frac{aL}{2}\left[\Pi\left(\frac x L\right)-\Lambda\left(\frac {x} {L/2}\right)\right]\delta(y)$$
      
   3. Amplitude à l'infini :
      $$f(\alpha,\beta)=a L^2 \psi_0\frac{\exp(ikr)}{2 i \lambda r}\: \left... ...right)-\frac 1 2\mbox{sinc}^2\left(\frac{\pi L\alpha}{2 \lambda}\right)\right]$$

   4. Le sinc$^2$ est deux fois plus large que le sinc : les deux fonctions s'annulent simultanément en $\alpha_p=\frac{2p\lambda}L$ . L'allure du graphe est celle de la courbe ci-dessous. On a tracé simultanément les fonctions sinc$\left(\frac{\pi L\alpha}\lambda \right)$ , $\frac 1 2$sinc$^2\left(\frac{\pi L\alpha}{2 \lambda}\right)$ et l'amplitude (avec $f(0,0)=1/2$ ).
      

4. Diffraction de Fresnel sur l'axe optique $x=y=0$ .
   1. On part de la transformée de Fourier-Fresnel que l'on écrit en $x=y=0$ . Cette transformée s'écrit
      $$f_z(x,y)=\psi_0\frac{\exp(ikz)}{i \lambda z}\: \exp\left(i\pi\fra... ...a z}}\left[ t(x',y') \exp\left(i\pi\frac{x'^2+y'^2}{\lambda z} \right) \right]$$
      et se simplifie si l'on fait $x=y=0$ en
      $$f_z(0,0)=\psi_0\frac{\exp(ikz)}{i \lambda z}\: {\cal F}_{0,0}\left[ t(x',y') \exp\left(i\pi\frac{x'^2+y'^2}{\lambda z} \right) \right]$$
      et comme la transformée de Fourier, prise en (0,0), est simplement l'intégrale de la fonction, on obtient
      $$f_z(0,0)=a\psi_0\frac{\exp(ikz)}{i \lambda z}\: \int\!\!\!\int_{-... ...c {x'} L) \delta(y') \exp\left(i\pi\frac{x'^2+y'^2}{\lambda z}\right) dx' dy'$$
      L'intégrale sur $x'$ est limitée entre $-L/2$ et $L/2$ (présence de la porte). Quant à celle sur $y'$ elle fait simplement 1 (le produit $\exp(\frac{i\pi y'^2}{\lambda z}) \delta(y')$ vaut $\delta(y')$ ). On obtient la forme intégrale demandée :
      $$f_z(0,0)=a\psi_0\frac{\exp(ikz)}{i \lambda z}\: 2\int_0^{L/2} x' \exp\left(i\pi\frac{x'^2}{\lambda z}\right) dx'$$

   2. Pour calculer l'intégrale, on se sert du fait que la dérivée de $\exp(i C x^2)$ vaut $2 i C x \exp(i C x^2)$ . La primitive de $x \exp(i C x^2)$ vaut donc $\frac{\exp(i C x^2)}{2 i C}$ . Il vient
      $$f_z(0,0)=a\psi_0\frac{\exp(ikz)}{i \lambda z}\: \frac{2\lambda z}{2 i \pi}\left[\exp\left(i\pi\frac{x'^2}{\lambda z}\right) \right]_0^{L/2}$$
      On a donc
      $$f_z(0,0)=-\psi_0\exp(ikz)\: \frac{a}{\pi}\left[\exp\left(i\pi\frac{L^2}{4 \lambda z}\right) -1\right]$$

   3. L'intensité est
      $$I_z(0,0)=I_0\left(1-\cos\left(\pi\frac{L^2}{4 \lambda z}\right)\right)$$
      avec $I_0=\vert\psi_0\vert^2 a^2/\pi^2$ On a une annulation de l'intensité tous les $z_p=\frac{L^2}{8p \lambda}$ . Plus $p$ augmente plus $z_p$ diminue ; le point le plus éloigné où l'intensité est nulle au centre (hormis p=0) est $z_0=\frac{L^2}{8 \lambda}$ , c'est le même ordre de grandeur que la limite entre le champ proche et le champ lointain ( $L^2/\lambda$ ).

Réseau bosselé

1. Le coefficient de transmission de la lame est $t(x,y)=\exp (i k (n-1) e(x))$ avec $k=2\pi/\lambda$ . Il vient
   $$t(x,y)=t_0\, \exp(i k (n-1) e_1 \cos(2\pi m x))$$
   avec $t_0=\exp(i k (n-1) e_0)$ . Si $e_1\ll\lambda$ le produit $k (n-1) e_1\ll 1$ et l'on peut faire un développement limité de l'exponentielle. Il vient :
   $$t(x,y)\simeq t_0\, (1+i k (n-1) e_1 \cos(2\pi m x))$$
   L'amplitude diffractée à l'infini (distance $r$ ) s'écrit
   $$f(\alpha,\beta)=f_0 \left[\delta(\alpha,\beta)+ K\delta(\alpha-\lambda m,\beta)+ K\delta(\alpha+\lambda m,\beta)\right]$$
   avec $K=i k (n-1) e_1/2$ et $f_0=\psi_0t_0\lambda\frac{\exp(ikr)}{i r}$ . L'amplitude (et donc l'intensité) est composée de 3 pics de Diracs centrés en $(0,0)$ , $(\pm \lambda m,0)$ dans le plan $(\alpha,\beta)$ . Ce sont les ordres 0 et $\pm 1$ .
2. Second ordre
   1. On pousse le développement limité de l'exponentielle à l'ordre 2. Il vient
      $$t(x,y)\simeq t_0\, \left(1+i k (n-1) e_1 \cos(2\pi m x)- \frac{k^2}2 (n-1)^2 e_1^2 \cos^2(2\pi m x)\right)$$

   2. L'amplitude diffractée à l'infini s'écrit donc
      $$f(\alpha,\beta)= f_0 \left[t_1\delta(\alpha,\beta)+ K\delta(\alph... ...K_2\delta(\alpha-2 \lambda m,\beta)- K_2\delta(\alpha+2\lambda m,\beta)\right]$$
      avec $K_2=\frac{k^2}8 (n-1)^2 e_1^2$ $t_1=1-2K_2$ . L'intensité s'écrit donc
      $$I(\alpha,\beta)= \vert f_0\vert^2 \left[\vert t_1\vert^2\delta(\a... ...pha-2 \lambda m,\beta)+ \vert K_2\vert^2\delta(\alpha+2\lambda m,\beta)\right]$$
      

   3. Par rapport à la question 1 il y a deux différences : l'apparition de deux nouveaux ordres en $\alpha=\pm 2\lambda m$ , et un changement dans le coefficient qui pondère l'ordre 0.
   4. Rapport d'intensité :
      $$r_2=\left\vert\frac{K_2}{t_1}\right\vert^2=\frac{1}{(8 k^2 (n-1)^2 e_1^2 -2)^2}$$

   5. La limite $r_2=0.01$ donne $e_1/\lambda=0.16$ . Pour $e_1$ plus petit que cette valeur le DL à l'ordre 1 suffit.
3. Généralisation à $e_1$ quelconque : le développement en série de l'exponentielle conduit à écrire $t(x,y)$ comme une somme $$\sum_{p=-\infty}^\infty \cos(2\pi m x)^p$$ . L'écriture du cosinus en deux exponentielles complexes fait apparaitre des termes de type $\exp(\pm 2i\pi p m x)$ qui donneront naissance dans l'amplitude à des pics de Dirac centrés en $\alpha=\pm p\lambda m$ : ce sont les ordres $p$ et $-p$ .

4. C'est une question de cours. L'ordre maximal observable est donné par la formule des réseaux (le sinus de l'angle de déviation ne peut être supérieur à 1). L'ordre $n_m$ correspondant est donné par $n_m=E(\frac{1}{\lambda m})$ ($1/m$ est ici la période du réseau). Il vient $n_m=16$ .