L3 Physique -- Correction du premier partiel d'optique

19 Octobre 2010

Interféromètre de Mach-Zehnder

On note $D=a+2b+d$ et $k=\frac{2\pi}\lambda$

1. $\psi_{1A}=\psi_0 rt e^{ikD}$ et $\psi_{2A}=\psi_0 tr e^{ikD}=\psi_{1A}$ . Intensité : $I_A=\vert\psi_0\vert^2$
2. $\psi_{1B}=\psi_0 rr' e^{ikD}$ et $\psi_{2B}=\psi_0 t^2 e^{ikD}=-\psi_{1B}$ . Intensité : $I_B=0$
3. L'intensité est la puissance/unité de surface. Elle est constante dans chaque plan, donc conserver la puissance revient à conserver l'intensité. A l'entrée de l'interféromètre l'intensité dans le plan $z=0$ est $I_0=\vert\psi_0\vert^2$ . A la sortie l'intensité totale est la somme $I_A+I_B=I_0$ . Il y a bien conservation de l'intensité donc de la puissance lumineuse. Dans ce cas, l'éclairement du plan $E_B$ est nul et toute la lumière est allée vers le plan $E_A$ .
4. On note $l$ le coefficient de transmission de la lame à faces parallèles
   1. $l=\exp(ik (n-1) e)$
   2. $\psi_{1A}=\psi_0 rtl e^{ikD}$ et $\psi_{1B}=\psi_0 rr'l e^{ikD}$
   3. $I_A=\frac 1 2 \vert\psi_0\vert^2 (1+\cos(k(n-1)e)$ et $I_B=\frac 1 2 \vert\psi_0\vert^2 (1-\cos(k(n-1)e)$ . Avec $I_A+I_B=I_0$ , la puissance lumineuse est toujours conservée.
   4. $I_A=I_B\; \Longleftrightarrow\; \cos(k(n-1)e)=0$ . Ce qui donne $e=(2p+1)\frac{\lambda}{4(n-1)}$ avec $p$ entier.
   5. $\frac{I_B}{I_A}$ peut s'écrire comme
      $$\frac{I_B}{I_A}=\frac{\sin^2(\frac k 2 (n-1)e)}{\cos^2(\frac k 2 (n-1)e)}\; = \; \tan^2\left(\frac k 2 (n-1)e\right)$$
      On aura $\frac{I_B}{I_A}=0.01$ quand $\tan\left(\frac k 2 (n-1)e\right)=0.1$ donc $\frac k 2 (n-1)e=\arctan(0.1)\simeq 0.1$ . Ce qui donne $e=\frac\lambda{10\pi (n-1)}$ . A.N. $e\simeq \frac 1 {15} \, \mu$ m.
   6. Oui, la justification étant donnée par la réponse à la question précédente (une épaisseur de $\lambda/15$ donne un rapport d'intensité de 1% entre $I_B$ et $I_A$ qui est facilement mesurable).

Filament lumineux

1. Eclairé par une onde plane, cet objet ne laisse passer la lumière que sur une mince fente infiniment fine : son aspect est celui d'un fil lumineux, d'où le titre de l'exercice.
2. $\epsilon$ est homogène à une longueur pour que $t(x',y')$ soit sans dimension ($\delta$ est homogène à l'inverse de son argument).
3. $f_0(x',y')=A\epsilon\delta(x')$ ou bien $f_0(x',y')=A\epsilon\delta(x')\, \mathbf{1}(y')$
4. $f_D(x,y)=\frac{e^{ikD}}{i\lambda D} \, f_0\ast\exp\left(\frac{i \pi (x^2+y^2)}... ...delta(x)\, \mathbf{1}(y) \ast\exp\left(\frac{i \pi (x^2+y^2)}{\lambda D}\right)$
5. Les fonctions sont à variables séparables, $f_D$ s'exprime comme le produit d'un terme ne dépendant que de $x$ par un terme ne dépendant que de $y$ :
   $$f_D(x,y)= \frac{e^{ikD}}{i\lambda D} \, A\epsilon \left[\delta(x)... ...].\left[\mathbf{1}(y) \ast \exp\left(\frac{i \pi y^2}{\lambda D}\right)\right]$$
   qui s'écrit
   $$f_D(x,y)= \frac{e^{ikD}}{i\lambda D} \, A\epsilon \; \exp\left(\f... ...t[\int_{-\infty}^\infty \exp\left(\frac{i \pi y^2}{\lambda D}\right) dy\right]$$
   l'intégrale sur $y$ vaut $\sqrt{i\lambda D}$ . On obtient
   $$f_D(x,y)= A\epsilon\frac{e^{ikD}}{\sqrt{i\lambda D}} \; \exp\left(\frac{i \pi x^2}{\lambda D}\right)$$

6. $f_D(x,y)$ ne dépend pas de $y$ . C'est une onde cylindrique.
7. $\phi(x,y)=kD-\pi/4+\frac{\pi x^2}{\lambda D}$ (le $\pi/4$ vient du $\sqrt{i}$ au dénominateur).
8. $I_D(x,y)=\frac{\vert A\vert^2\epsilon^2}{\lambda D}$ (elle est constante et homogène à $\vert A\vert²$ )
9. Dans le plan $z=D$ , l'amplitude complexe de l'onde plane s'écrit $\psi_D=B e^{-i\pi/4}\, e^{ikD}$ . L'amplitude complexe résultant de son interférence avec $f_D$ s'écrit
   $$B e^{-i\pi/4}\, e^{ikD}+ A\epsilon\frac{e^{ikD-i\pi/4}}{\sqrt{\lambda D}} \; \exp\left(\frac{i \pi x^2}{\lambda D}\right)$$

10. L'intensité correspondante dans le cas où $A$ et $B$ sont réels et $\vert B\vert\gg \frac{\epsilon}{\sqrt{\lambda D}}\vert A\vert$ est
    $$I(x,y)\simeq \vert B\vert²+ \frac{2AB\epsilon}{\sqrt{\lambda D}} \; \cos\left(\frac{\pi x^2}{\lambda D}\right)$$

11. Maxima d'intensité en $X_p=\sqrt{2p\lambda D}$ ; minima en $x_p=\sqrt{(2p+1)\lambda D}$ avec $p$ entier
12. Contraste $$\frac{2A\epsilon}{B\sqrt{\lambda D}}$$
13. Graphe de l'intensité $I(x,0)$ en fonction de $x$ : les valeurs numériques utilisées sont $\lambda=1 \mu$ m, $D=1$  cm, $B/A=10^5$ , $\epsilon=1$

    

14. La phase $\phi(x,y)$ de l'onde $f_D$ vaut $\phi(x,y)=kD-\pi/4+\frac{\pi x^2}{\lambda D}$  : c'est, à une constante additive près, l'argument du cosinus qui intervient dans l'intensité.
15. Une solution possible est d'éclairer l'interféromètre de Michelson avec une onde plane sous incidence normale. Les deux miroirs sont réglés en teinte plate (pas d'inclinaison). Sur l'un des miroirs (par exemple $M_2$ ), on place une fente fine (collée au miroir) : l'onde réfléchie sera une onde cylindrique qui pourra interférer avec l'onde plane provenant de $M_1$ .