Correction de l'examen d'optique

Session de Septembre 2000


Le Laser Lune du plateau de Calern

1.
Appelons x et y les coordonnées d'un point dans le plan de la sortie du télescope, z la direction de propagation de l'onde. L'amplitude de l'onde à la sortie du télescope s'écrit :

\begin{displaymath}f_0(x,y)=\psi_0 \; \prod\left( \frac{r}{d}\right) \end{displaymath}

avec $r=\sqrt{x^2+y^2}$.
La théorie générale de la diffraction de Fresnel prévoit qu'après une propagation sur une distance D, l'onde s'écrive :

\begin{displaymath}f_D(x,y)=\frac{e^{i k D}}{i\lambda D} \; \exp \frac{i\pi r^2}... ...} \left[ f_0(x',y')\; \exp \frac{i\pi r'^2}{\lambda D} \right] \end{displaymath}

L'approximation de Fraunhöffer consiste à écrire que D est grand et que $ \exp \frac{i\pi r'^2}{\lambda D}\simeq 1+\frac{i\pi r'^2}{\lambda D}\simeq 1$. Comme $r'\le d/2$, ceci est possible si $\frac{\pi d^2}{\lambda D}\ll 1$.

Avec les valeurs numériques de l'énoncé : $\frac{\pi d^2}{\lambda D}\simeq 0.01$. L'approximation de Fraunöffer est justifiée, l'erreur commise sur l'amplitude complexe est de 1 %.

2.
L'intensité I est la puissance par unité de surface. Donc $W=I \; \pi\frac{d^2}{4}=\vert\psi_0\vert^2 \; \pi\frac{d^2}{4}$.
3.
Soient x,y les coordonnées d'un point sur la Lune. L'amplitude diffractée s'écrit, dans l'approximation de Franhöffer :

\begin{displaymath}f_D(x,y)=\frac{e^{i k D}}{i\lambda D} \; \hat f_0\left( \frac{x}{\lambda D},\frac{y}{\lambda D} \right) \end{displaymath}

Il vient :

\begin{displaymath}f_D(x,y)=\psi_0 \; \frac{e^{i k D}}{i\lambda D} \; \frac{\pi ... ...} \; J_{1c}\left(\frac{\pi d \sqrt{x^2+y^2}}{\lambda D}\right) \end{displaymath}

4.
${\cal L}_1=2.44 \; \frac{\lambda D}{d}=312$ mètres
5.

\begin{displaymath}I_0=\vert f_D(0,0)\vert^2=W\; \frac{\pi d^2}{4 \lambda^2 D^2}\end{displaymath}

6.

\begin{displaymath}\psi_1=f_D(0,0)=\psi_0 \frac{\pi d^2}{4 i\lambda D} e^{ikD}\end{displaymath}


\begin{displaymath}W_1=I_0 \; \frac{\pi a^2}{4}\end{displaymath}


\begin{displaymath}W_1/W=3.8\, 10^{-7}\end{displaymath}

7.
${\cal L}_1=2.44 \; \frac{\lambda D}{a}=4.7$ kilomètres. Pour calculer l'amplitude de tache de diffraction de l'onde réfléchie, il faut reprendre le calcul de la question 3 en remplaçant d par a. Il vient

\begin{displaymath}f'_D(x,y)=\psi_1 \; \frac{e^{i k D}}{i\lambda D} \; \frac{\pi... ...} \; J_{1c}\left(\frac{\pi a \sqrt{x^2+y^2}}{\lambda D}\right) \end{displaymath}

l'intensité au centre (x,y)=(0,0) s'écrit donc

\begin{displaymath}I_2=\vert\psi_0\vert^2\; \left( \frac{\pi a d}{4 \lambda D} \right)^4 \end{displaymath}

8.
La puissance collectée est le produit de l'intensité par la surface collectrice (l'onde est considérée comme plane sur la surface du télescope vu la grande taille de la tache de diffraction (plus de 4 km)).

\begin{displaymath}W_2=I_2 \; \frac{\pi d^2}{4}=W \; \left( \frac{\pi a d}{4 \lambda D} \right)^4 \end{displaymath}

avec le rapport $\eta=W_2/W=1.4\, 10^{-13}$ qui donne le rendement extrèmement faible de l'expérience.
9.
Energie d'un photon : $e=\frac{h c}{\lambda}=4 \, 10^{-19}$ J. Nombre de photons émis : Ni=Ei/e=1018
10.
Nombre de photons reus : $N_r=\eta N_i=140\,000$.
11.
Influence de la turbulence atmosphérique :