Correction de l'examen d'optique de Septembre 2003

Question de cours

Rédaction libre. Je conseille de présenter la cohérence spatiale à travers une expérience d'interférences de type trous d'Young (même si c'est en réalité plus général). Les points importants sont :

• On travaille avec des sources larges. Introduire la notion de distribution de brillance.
• L'émission de lumière est faire indépendemment par chaque point de la source, on doit donc sommer les intensités des franges produites par tous ces points
• Plus la source est large et plus les franges perdent du contraste. Le contraste des franges est une mesure du degré de cohérence spatiale de l'onde produite par la source. On peut citer ici le théorème de Van-Cittert-Zernike qui relie le contraste des franges à la distribution de brillance.
• Pour une source de dimensions données, le contraste des franges baisse quand on écarte les trous d'Young. A partir d'un certain écartement le contraste est quasi-nul et les deux trous sont quasiment incohérents entre eux. Cette écartement critique est la largeur de cohérence spatiale de l'onde. Donner sa définition exacte.
• Enfin terminer par des applications : mesure de diamètres d'étoiles, etc...

Diffraction de Fresnel

Le coefficient de transmission du trou s'écrit

$$t(x,y)=\prod\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{d}\right)$$

On écrit la transformée de Fresnel de l'onde après traversée du masque ; l'amplitude complexe s'écrit

$$f_z(x,y)=\frac{\exp ikz}{i\lambda z}\; \exp\left(\frac{x^2+y... ...(x',y') \: \exp\left(\frac{x'^2+y'^2}{\lambda z}\right)\right]$$

On fait $x=y=0$, on développe la TF, on trouve l'intégrale sur la surface du diaphragme

$$f_z(0,0)=\frac{\exp ikz}{i\lambda z}\; \int\!\!\!\int_{disque} \exp\left(\frac{x'^2+y'^2}{\lambda z}\right)\: dx'\, dy'$$

qu'on intègre en coordonnées polaires. On trouve finalement l'intensité sur l'axe optique ($x=y=0$) :

$$I_z(x,y)=4 \vert\psi_0\vert^2\; \sin^2 \frac{\pi d^2}{8\lambda z}$$

L'intensité s'annule pour les valeurs

$$z_n=\frac{d^2}{8\lambda n}$$

avec $n$ entier. Dans ce cas la figure de diffraction de Fresnel montre une tache noire d'intensité nulle au centre.

Réseau

1. Si $\Xi=0$ on a affaire à une lame à faces parallèles
2. Période du réseau :
   
   $$T=\frac{f}{\tan\Xi}$$
   
   

3. Comme pour tous les réseaux, l'ordre $p$ est observé dans la direction de cosinus directeur
   
   $$\alpha_p=p\frac{\lambda}{T}$$
   
   

4. Le pouvoir de résolution est
   
   $$R=p\frac{L}{T}=100 p$$
   
   

5. Fonction épaisseur du motif (on centre le motif à l'origine)
   
   $$e(x)=u+f/2+x \tan \Xi\simeq u+f/2+x\Xi$$
   
   
   Coefficient de transmission du motif (on le limite par une porte de largeur $T$)
   
   $$t_m(x)=\prod\left(\frac{x}{T}\right)\; \left[e^{\frac{2 i \p... ...}(n-1)(u+f/2)}\; \exp \frac{2 i \pi}{\lambda}(n-1) x\Xi\right]$$
   
   
   Le coefficient de transmission du réseau est la périodisée de $t_m$
   
   $$t(x,y)=t_0\: \left[\prod\left(\frac{x}{T}\right)\; \exp \frac{2 i \pi}{\lambda}(n-1) x\Xi\right]\ast \Pi\!\!\!\Pi _T(x)$$
   
   
   avec $t_0=\exp \frac{2 i \pi}{\lambda}(n-1)(u+f/2)$ et $\Pi\!\!\!\Pi _T(x)=\frac{1}{T}\Pi\!\!\!\Pi (\frac{x}{T})$
6. TF de $t(x,y)$
   
   $$\hat t(u,v)=t_0 T\: \Pi\!\!\!\Pi (T u)\; \mbox{sinc}\left(\pi T\left(u-\frac{(n-1)\Xi}{\lambda}\right)\right)\; \delta(v)$$
   
   
   Amplitude diffractée à l'infini
   
   $$f_\infty(\alpha,\beta)=\frac{e^{ikr}}{\i \lambda r}\; t_0 \l... ...\frac{\pi T}{\lambda} (\alpha-(n-1)\Xi)\right)\; \delta(\beta)$$
   
   
   D'où l'intensité (en écrivant $\Pi\!\!\!\Pi =\Pi\!\!\!\Pi ^2$)
   
   $$I_\infty(\alpha,\beta)=Cte\; \Pi\!\!\!\Pi \left(\frac{T\alph... ...\frac{\pi T}{\lambda} (\alpha-(n-1)\Xi)\right)\; \delta(\beta)$$
   
   
   C'est à dire un peigne de Dirac dont les dents sont situées en $\alpha=p\lambda/T$ (ce sont les ordres) et pondérées par la fonction sinc$^2$ qui est centrée en $(n-1)\Xi$. Lorsque $\Xi$ varie, le sinc se décale et l'amplitude des ordres change.
   

   

7. Les zéros de la fonction sinc$^2$ sont situés en $\alpha=(n-1)\Xi+p\lambda/T$ avec $p$ entier non nul. On constate alors que si $(n-1)\Xi=0$ toutes les dents du peigne (donc tous les ordres) sauf l'ordre 0 ont une amplitude nulle (ils ``tombent'' sur les zéros du sinc). Dans ce sas seul l'ordre 0 est observable. Si $(n-1)\Xi=\lambda/T$ c'est l'ordre 1 seul qui est observable, tous les autres sont d'amplitude nulle. Et si $(n-1)\Xi=k\lambda/T$ avec $k$ entier, seul l'ordre $k$ est observable.
8. Réseau blasé dans l'ordre $p$ si $(n-1)\Xi=p\lambda/T$. Ici $p=1$, avec les valeurs proposées on trouve $\Xi=0.1$ rad.