Licence de Physique LP2b -- Electromagnétisme et optique

Examen de Septembre 1999 - Partie 2


Zoom de Fourier

On considère une lentille convergente éclairée sous incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$. L'axe de la propagation est z, l'amplitude complexe de l'onde s'écrit, pour $z \le 0$ : $A \exp \frac{2 i \pi z}{\lambda}$. On note l(x,y) le coefficient de transmission de la lentille de focale f. L'origine des z est prise dans le plan de la lentille. A une distance z=d après la lentille, dans la partie convergente du faisceau, on place un objet de coefficient de transmission t(x,y). On se place dans l'approximation de l'optique paraxiale.
1.
Dans l'expression de l'amplitude de l'onde plane pour $z \le 0$, quelle est à votre avis la dimension du terme A ?
2.
Ecrire le coefficient de transmission de la lentille en fonction de sa focale f (on ne demande pas de démonstration).
3.
Quelle est la nature de l'onde entre les plans z=0 et z=d ? Ecrire alors sans calcul l'amplitude de l'onde dans le plan z=d.
4.
Retrouver par le calcul l'expression de l'amplitude complexe de l'onde dans le plan z=d. Quelles différences constatez-vous entre cette expression et celle de la question précédente ? Commentaires ? On rappelle la transformée de Fourier suivante :

\begin{displaymath}f(x,y)=\exp \frac{i \pi (x^2+y^2)}{\lambda z} \longrightarrow \hat{f}(u,v)=i \lambda z \exp -i \pi\lambda z (u^2+v^2) \end{displaymath}

5.
Ecrire la propagation de l'onde entre les plans z=d et z=f (on pourra poser q=f-d la distance entre ces deux plans). En déduire l'amplitude de l'onde dans le plan focal z=f. En déduire l'intensité dans le plan focal.
6.
Montrer que ce montage permet d'observer le carré du module de la transformée de Fourier de l'objet t(x,y). Selon vous existe-t'il d'autres configurations de montages optiques permettant cette observation ? Faites un ou des dessins (on ne demande pas de démonstration).
7.
Montrer que quand on déplace l'objet t(x,y) entre la lentille (z=0) et son plan focal (z=f), on effectue un changement d'échelle de la fonction décrivant l'intensité au plan focal. D'où le nom de ``zoom de Fourier'' donné à ce dispositif. A quelle distance d doit on placer l'objet t(x,y) pour faire un changement d'échelle d'un facteur 2 par rapport à la configuration d=0 ?