Théorème de Van-Cittert Zernike


 

Alors que la cohérence temporelle intervient lorqu'on observe des sources de lumière non monochromatiques, la cohérence spatiale intervient lorsqu'on observe des sources non ponctuelles. Ainsi en 1920, lors d'une observation avec le télescope de 2m50 du Mont Wilson, Michelson et Pease ont mesuré pour la première fois le diamètre angulaire d'une étoile autre que le Soleil : il s'agissait de l'étoile Betelgeuse, dans la constellation d'Orion (ils ont trouvé 0.05 seconde d'arc). Leur expérience pourrait être schématisée comme suit.

On considère une paire de trous d'Young minuscules distants de a et formant des franges sur un écran placé à une distance d.

  1. Les trous d'Young sont observés normalement par une lumière monochromatique de fréquence tex2html_wrap_inline68 . Ecrire l'intensité des franges en un point de l'écran. On la mettra sous la forme :

    2.  

     

    displaymath126

    tex2html_wrap_inline82 sera exprimé en fonction de tex2html_wrap_inline142 .

  2.  Les trous sont maintenant éclairés par une onde plane qui fait un angle tex2html_wrap_inline144 avec la normale aux trous. Ecrire la nouvelle intensité sur l'écran.

  3.  On éclaire maintenant les trous avec deux ondes monochromatiques de même fréquence et incohérentes l'une avec l'autre, mais arrivant avec des incidences tex2html_wrap_inline146 et tex2html_wrap_inline148 avec tex2html_wrap_inline150 et tex2html_wrap_inline152 . Ecrire l'intensité sous la forme :


    4. displaymath127

  4. Passage à la limite continue : on considère un ensemble d'ondes planes arrivant avec des angles compris entre tex2html_wrap_inline154 et tex2html_wrap_inline156 (c'est le cas d'une source étendue spatialement incohérente). On note tex2html_wrap_inline158 l'intensité de lumière arrivant entre les angles tex2html_wrap_inline160 et tex2html_wrap_inline162 . Calculer l'intensité des franges sur l'écran et montrer qu'elle se met sous la forme :

    5.  

     

    displaymath128

    displaymath129

    où tex2html_wrap_inline168 est la TF de tex2html_wrap_inline170 , le profil d'intensité centré. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Van-Cittert - Zernike.

  5.  Le même problème peut se traiter comme un filtrage ; on considère alors un instrument dont la fonction pupille est constituée de nos deux trous séparés de d. Calculer la fonction de transfert de la pupille de l'instrument.

  6.  On observe avec cet instrument une source étendue que l'on assimilera à un carré uniforme de côté angulaire tex2html_wrap_inline174 . En utilisant la relation objet-image valable en éclairage incohérent, décrire l'aspect de l'image observée au plan focal de l'instrument. Calculer le contraste des franges et montrer que l'on retrouve le résultat de la question 3. Comment est modifié le contraste si, au lieu d'observer une source carrée, on observe une source circulaire de diamètre tex2html_wrap_inline176 ? Si les trous d'Young possèdent un diamètre a ?

  7.  Application : l'interféromètre I2T de l'Observatoire de la Côte d'Azur couple deux petits télescopes de 25 cm séparés par une distance pouvant aller jusqu'à 150 m. Tracer la fonction de visibilité (le contraste des franges) en fonction de la fréquence angulaire tex2html_wrap_inline180 si l'interféromètre observe une étoile résolue. En déduire une méthode permettant la mesure du diamètre angulaire des étoiles à partir de l'observation des franges. Quel est le plus petit diamètre observable par I2T ?