Objet sinusoidal observé par une pupille rectangulaire


$ O(\alpha_0,\beta_0)=A\, \cos^2(\pi \alpha_0 Z)$ . Elle est placée à très grande distance (suffisamment pour faire l'approximation de Fraunhöffer) d'une pupille rectangulaire de largeur $ d$ dans la direction $ x$ (la direction $ \hat x$ est parallèle à la direction $ \hat \alpha$ et supposée infinie dans la direction $ \hat y$ . Cette ouverture est accolée à une lentille convergente de focale $ F$ . On observe l'image de la grille dans le plan focal image de la lentille. On se place dans l'approximation des angles faibles ( $ \alpha_0\ll 1$ ).
\includegraphics{filt.eps}
  1. Quel est le contraste de l'objet ? Quelles sont les fréquences angulaires présentes dans cet objet ?
  2. Ecrire le coefficient de transmission de la pupille.
  3. En déduire la réponse impulsionnelle et la fonction de transfert du filtrage correspondant (on rappelle que la TF de sinc$ ^2(\pi u)$ est $ \Lambda(x)$ ).
  4. Ecrire la transformée de Fourier de l'intensité $ \hat I(u,v)$ , montrer qu'elle est composée de trois pics de Dirac dont on précisera l'intégrale. Pour quelles valeurs de $ Z$ a-t-on disparition des pics latéraux ?
  5. Que vaut l'intensité $ I(\alpha,\beta)$ dans l'image ? A l'aide d'un changement de variables, écrire cette intensité en un point de coordonnées $ (x,y)$ du plan focal image.
  6. Que vaut le contraste de l'image ? Pour quelle valeur de $ d$ le contraste vaut-il la moitié de celui de l'objet ?
  7. Montrer l'existence d'une valeur de $ Z$ au dessus de laquelle le contraste de l'image est nul (on parle de ``fréquence de coupure'').