Interféromètre de Michelson éclairé par une source ponctuelle

Un interféromètre de Michelson est éclairé par une source ponctuelle $S$ placée sur l'axe optique de l'interféromètre. Les interférences sont observées dans le plan $(E)$ de la figure ci-après, au voisinage de l'axe optique. On note $x$ et $y$ les coordonnées d'un point sur le plan $E$ , avec l'hypothèse $x$ et $y\ll d+2a+b$ . La longueur des trajets sur l'axe optique est $d+2a+b$ pour l'onde se réfléchissant sur le miroir $M_1$ et $d+2a+2e+b$ pour l'onde se réfléchissant sur le miroir $M_2$ . Le décalage réglable $e$ est faible, du même ordre de grandeur que la longueur d'onde $\lambda$ . La lame séparatrice est supposée d'épaisseur nulle et de coefficient de réflexion $r$ et de transmission $t$ égaux (lame dite 50/50).

1. Remarquer l'équivalence du problème avec le problème plus simple de la figure ci-dessous : deux sources ponctuelles identiques $S$ et $S'$ qui éclairent l'écran $E$ . Précisez les distances en jeu.
   

   
   

2. Calculer, en un point $M$ de coordonnées $(x,y)$ du plan $E$ , le retard $\tau$ entre les ondes provenant des deux sources.
3. On suppose que la source $S$ est monochromatique, elle émet une onde sphérique de longueur d'onde $\lambda$ . Ecrire l'intensité sur le plan $E$ , montrer qu'on observe une série d'anneaux concentriques et déterminez leur rayon. Pour quelles valeur de $e$ observe-t'on au centre un maximum de lumière ? Quel est alors l'ordre d'interférence au centre ? Que se passe-t'il si on modifie la position $e$ du miroir $M_2$  ?
4. La source est cette fois quasi-monochromatique de spectre $F(\nu)$ symétrique autour d'une fréquence $\nu_0$ . Ecrire l'intensité dans le plan $E$ et calculer le contraste des anneaux.