Interférences avec une lumière de spectre sinus cardinal

Une source supposée à l'infini éclaire sous incidence normale un dispositif interférentiel de type trous d'Young. Le spectre $F(\nu)$ de la lumière est quasi-monochromatique, de largeur à mi-hauteur $\delta\nu$ , et peut s'écrire
$$F(\nu)=I_0\:$$   sinc$^2\left(\pi\frac{\nu-\nu_0}{\delta\nu}\right)$ avec $I_0$ une constante positive et $\delta\nu\ll \nu_0$ .

1. Calculer le degré de cohérence complexe $\gamma(\tau)$ de la lumière en fonction du retard $\tau$ entre les ondes qui interfèrent en un point.
2. En déduire le contraste des franges d'interférences $C(\tau)$ .
3. Tracer sur le même graphe les courbes $1+C(\tau)$ et $1-C(\tau)$ .
4. Calculer l'intensité des franges $I(\tau)$ en fonction de $\tau$ .
5. Tracer le graphe de $I(\tau)$ (on pourra le tracer sur le graphe de la question 4 en identifiant clairement les différentes courbes).
6. Pour quelle valeur $\tau_1$ de $\tau$ observe-t-on une disparition des franges (prendre $\tau_1>0$ ) ?
7. Combien observe-t-on de franges d'interférence entre $\tau=0$ et $\tau=\tau_1$  ?
8. Donner le temps de cohérence $\tau_c$ de la lumière et exprimer $\tau_1$ en fonction de $\tau_c$ .
9. Qu'appelle-t-on ``inversion de contraste'' ? Ce phénomène se produit-il ici (et si oui, pour quelles valeurs de $\tau$ ) ?

On rappelle la transformée de Fourier suivante :

$$\sin(\pi x)^2 \longrightarrow \Lambda (u)$$

avec $\Lambda$ la fonction triangle.