Spectrométrie par transformation de Fourier

Un interféromètre de Michelson est éclairé par une onde plane arrivant parallèlement à l'axe optique de l'interféromètre. Les interférences sont observées dans le plan $(E)$ de la figure ci-après, au voisinage de l'axe optique. On pose $OC=d$ , $CM_1=a$ , $CM_2=a+e$ et $CE=b$ . Le décalage réglable $e$ permet de réaliser une différence de marche entre les deux ondes secondaires produites par la séparatrice. La lame séparatrice est supposée d'épaisseur nulle et de coefficient de réflexion et de transmission égaux à 0.5 (les deux ondes à la sortie ont une amplitude moitié de celle de l'onde incidente).

1. L'onde incidente, supposée parfaitement cohérente est issue d'un laser He-Ne délivrant une longueur d'onde $\lambda=632.8$  nm. On réalise $e=0$ . Ecrire l'intensité dans le plan $E$ .
2. On déplace le miroir $M_2$ d'une quantité $e$ . Décrire le phénomène observé. Ecrire l'intensité $I_0$ au centre de l'écran $E$ en fonction de la variable $\delta=2e$ . Que représente cette variable ? Tracer la courbe $I_0(\delta)$ , déterminer sa période et son contraste.
3. En réalité, la lumière laser n'est pas parfaitement monochromatique, elle possède une longueur de cohérence de 30 cm et un profil de raie $P(\nu)$ . Que voit-on maintenant sur l'écran $E$ lorsque $e=0$  ? Que se passe-t'il quand $e\rightarrow\infty$  ? Partant de $e=0$ , on déplace progressivement le miroir $M_2$ pour obtenir la courbe $I_0(\delta)$ . Tracer qualitativement cette courbe.
4. Quel est le contraste local $C(\delta)$ de la fonction $I_0(\delta)$  ? En déduire une méthode permettant de mesurer le profil de raie $P(\nu)$ . En supposant que le translation de $M_2$ se fait avec un pas de 0.1 mm, chiffrer la plus grande valeur de $\delta\nu$ mesurable par cette méthode. (Cette technique est connue sous le nom de spectrométrie par transformation de Fourier)