Diffraction par 1, 2 et N trous circulaires

On considère un diaphragme circulaire de diamètre d situé dans le plan z=0. Ce trou est éclaire par une onde plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $\psi_0$ dans le plan du diaphragme. On s'intéresse à la figure de diffraction à l'infini produite par ce trou. On notera $\alpha$ et$\beta$ les deux premières coordonnées d'un vecteur unitaire définissant une direction dans le demi-espace z>0.

1.

Ecrire l'amplitude diffractée par le trou dans la direction ($\alpha$,$\beta$). Expliciter la transformée de Fourier sous forme d'une intégrale et faire un passage en coordonnées polaires $(x,y)\rightarrow (\rho,\phi)$ et $(\alpha,\beta)\rightarrow (\omega,\gamma)$. Introduire la fonction de Bessel J₀ définie par l'intégrale :

 

 

$$J_0(x)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i x \cos\phi} d\phi \;......2\pi} e^{i x \cos(\phi-\psi)} d\phi \; \; \; \; (\forall \psi)$$

2.

Utiliser la relation $x\; J_0(x)=\frac{d}{dx}[x \; J_1(x)]$ (J₁ est la fonction de Bessel du premier ordre) pour exprimer l'amplitude diffractée dans la direction ($\alpha$,$\beta$). Exprimer $\omega$ en fonction de l'angle $\theta$ des coordonnées sphériques d'axe Oz. Montrer que la figure obtenue est à symétrie de révolution.

3.

Donner l'intensité $I(\theta)$ observée dans une direction d'angle $\theta$. L'écrire en fonction de $I_0=I(\theta=0)$. En vous aidant du graphe de la fonction d'Airy ${\cal A}(x)=[2\; J_1(x)/x]^2$, dessiner l'allure de l'intensité qu'on observerait sur un écran placé à une distance z assez grande pour que l'approximation de Fraunhöffer soit vérifiée.

Graphe de la fonction d'Airy $\left[2\; \frac{J_1(x)}{x}\right]^2$

4.

Calculer le rayon angulaire et l'amplitude du premier anneau blanc et des deux premiers anneaux noirs de l'intensité diffractée. Le rayon angulaire est le demi-angle que sous-tend l'anneau vu depuis le point O centre du diaphragme. 

5.

On place maintenant dans le plan z=0 un masque constitué de deux trous identiques de diamètre d séparés d'une distance D. Ecrire le coefficient de transmission de l'ensemble, calculer l'intensité diffractée dans une direction $(\alpha,\beta)$. La figure obtenue est-elle encore à symétrie de révolution ? Combien y-a-t'il de franges dans la tache centrale à l'intérieur du premier anneau noir ? Montrer que quand $d\rightarrow 0$ on retrouve les résultats connus sur les trous d'young. 

6.

On réalise un masque percé d'un grand nombre $N\gg 1$ de trous de diamètre d. On pourra faire l'approximation $N\rightarrow\infty$. La position des trous sur le masque est aléatoire. Montrer que la figure de diffraction à l'infini (intensité) est la même que celle produite par un seul trou, mais N fois plus lumineuse. Comment est modifiée la figure de diffraction si les trous, au lieu d'être répartis aléatoirement, sont disposés selon un réseau régulier carré de côté a ?