Diffraction à l'infini par une couronne circulaire

Calculer l'intensité diffractée à l'infini par un écran de coefficient de transmission décrit en coordonnées polaires par la distribution

$$t(x,y)=\delta(r-a)$$

avec $a>0$ et $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Cet écran modélise une couronne circulaire très fine de rayon $a$ (voir figure ci-après). On rappelle l'expression de la fonction de Bessel

$$J_0(x)=\frac{1}{2\pi} \; \int_0^{2 \pi} e^{i x \cos\theta}\; d\theta$$

A l'aide du graphe de la fonction $J_0$, donner le rayon angulaire du premier anneau noir et du premier anneau brillant de la figure de diffraction. Calculer le rapport entre l'intensité au maximum du premier anneau brillant et l'intensité au centre de la figure.