Diffraction d'une une mire bidimensionnelle

On considère une mire de coefficient de transmission

$\parbox{9 cm}{ \begin{displaymath} t_1(x,y)=\left(\cos^2 \frac{\pi x}{a}\right) \left(\cos^2 \frac{\pi y}{a}\right) \end{displaymath}\vskip 2cm }$

limitée par un diaphragme circulaire de rayon $r\simeq 10 a$ et éclairée sous incidence normale par une onde plane de longueur d'onde $\lambda$ et d'amplitude $A$ dans le plan de la mire pris comme origine des $z$. On observe la figure de diffraction à l'infini en un point de coordonnées $(x,y)$ dans le plan $z=D$ avec $D\gg r$.

1. Ecrire le coefficient de transmission de l'ensemble mire+diaphragme
2. Calculer l'amplitude complexe dans le plan $z=D$. On rappelle la T.F. bidimensionnelle ${\cal F}_{[u,v]}\left[\prod\left(\frac{\rho}D \right) \right]=\frac{\pi D^2}2 J_{1c}(\pi q D)$ avec $\rho=\sqrt{x²+y²}$ et $q=\sqrt{u²+v²}$.
3. Calculer l'intensité, décrire la figure observée. A.N. : $\lambda=0.5\mu\mbox{m}$, $a=10\mu\mbox{m}$, $D=1$ m.
4. Expliquer ce qui changerait si le coefficient de la mire devenait $t_2(x,y)=\left(\cos^2 \frac{\pi x}{a}\right)$.