Trous d'Young et diffraction à l'infini

Un écran percé de deux trous minuscules est placé sur le trajet d'une onde électromagnétique plane de pulsation $\omega$ et de vecteur d'onde $\vec{k}=\frac{2\pi}{\lambda} \; \hat{z}$ ). Les deux trous sont séparés d'une distance $a$ . On place à une distance d un écran d'observation $E$ comme sur le schéma ci-dessous.

Le but de l'exercice est de calculer l'intensité de la figure d'interférence qui se forme sur l'écran $E$ en utilisant le formalisme de la diffraction de Fraunhöffer (à l'infini). On suppose donc les conditions nécessaires réalisées (en particulier $d\gg a$ , $x\ll d$ , $y\ll d$ ).

1. Les trous sont de petites ouvertures carrées de côté $\varepsilon$ . Ecrire le coefficient de transmission (bidimensionnel) d'un trou en supposant $a=0$ (le trou est alors sur l'axe optique). Vers quoi tend ce coefficient de transmission lorsque $\varepsilon\rightarrow 0$ (faites intervenir des distributions de Dirac $\delta$ ) ?
2. Ecrire le coefficient de transmission du masque à deux trous lorsque $\varepsilon \ne 0$ puis sa limite lorsque $\varepsilon\rightarrow 0$ (trous ponctuels).
3. En utilisant la théorie de la diffraction de Fraunhöffer, écrire l'intensité en un point $M$ de l'écran d'observation $E$ (on se place dans l'hypothèse $\varepsilon\rightarrow 0$ ).
4. Comment est modifiée l'intensité sur l'écran d'observation si $\varepsilon \ne 0$ ?
5. Même question si les trous sont des fentes de largeur b suivant $Ox$ et infinies le long de l'axe $Oy$ .
6. Même question si les trous sont à nouveau pontuels et si l'onde incidente est inclinée d'un angle $\theta_x$ au dessus du plan $yOz$ .