Diffraction de Fresnel : conservation de l'énergie

Soit $\psi(x,y,z)\; e^{-i\omega t}$ une onde monochromatique. Le point origine du système de coordonnées est noté O. On note $f_0(x,y)=\psi(x,y,0)$ son amplitude complexe dans le plan z=0 et $f_d(x,y)=\psi(x,y,d)$ l'amplitude dans un plan de cote z=d. On se place dans l'approximation de l'optique paraxiale.

1.

Ecrire la transformée de Fresnel entre f₀ et f_d sous la forme d'un produit de convolution. Expliciter la relation entre les transformées de Fourier $\hat{f}_0$ et $\hat{f}_d$

2.

Ecrire sous forme d'une intégrale l'énergie qui traverse le plan z=0 en fonction de |f₀|² 

3.

Utiliser le théorème de Parseval pour montrer que l'énergie qui traverse par unité de temps les plans z=0 et z=d est la même. On rappelle que :

$${\cal F}_{[u,v]} \left\{\frac{1}{i a}\; \exp \left(i\pi \frac......a}\right) \right\}\; = \; \exp \left(-i\pi a (u^2+v^2)\right)$$