Diffraction de Fresnel par une lentille convergente

On considère une lentille convergente de rayon de courbure R, d'indice n et de focale F. Cette lentille est placée dans le plan z=0 et est supposée infinie. On note t(x',y') son coefficient de transmission $$t(x',y') \; = \; \exp \: -i\pi (n-1) \frac{x'^2+y'^2}{\lambda R}$$

Cette lentille est éclairée par une onde plane monochromatique sous incidence faible dont l'expression dans le plan z= 0 est :

$$\psi(x,y,0)\; = \; \psi_0 \; \exp \frac{2i\pi}{\lambda}(\alpha x + \beta y)$$

On se place dans les conditions de l'optique paraxiale.

1.

Montrer que l'onde juste à la sortie de la lentille est sphérique. On précisera les coordonnées (x_s,y_s,z_s) du centre de cette onde sphérique.

2.

Ecrire la transformée de Fourier-Fresnel pour obtenir l'amplitude de l'onde dans un plan z quelconque. Montrer que l'onde obtenue est également sphérique et préciser les coordonnées de son centre.

3.

Montrer qu'il existe une valeur particulière de z pour laquelle la lumière est totalement concentrée en un point. En déduire la focale de cette lentille.

4.

On suppose que $\alpha=\beta=0$ (incidence normale) et on se place sur l'axe optique (x=y=0). Montrer que l'onde subit un déphasage de $\pi$ à la traversée du foyer.