Interféromètre de Pérot-Fabry

Un interféromètre de Pérot-Fabry est constitué d'une lame d'air d'épaisseur uniforme $e$ emprisonnée entre deux miroirs semi-réfléchissants. On appelle z l'axe perpendiculaire au plan de la lame d'air, l'origine des z étant prise sur la première face. On appelle $r_1$ et $r_2$ le coefficient de réflexion de chaque face, $t_1$ et $t_2$ leur coefficient de transmission. L'ensemble est éclairé par une onde plane dont l'amplitude complexe à l'entrée de la lame est $A_0\: \exp \frac{2i\pi\alpha x}{\lambda}$, $\lambda$ est la longueur d'onde.

1. Montrer que l'onde à la sortie de la lame est une somme d'ondes planes $\psi_p$ se propageant toutes dans la même direction et présentant un déphasage $\varphi$ entre $\psi_p$ et $\psi_{p+1}$. Calculer $\varphi$.

2. On rappelle que la somme d'une série géométrique de raison $q$ complexe est $\frac{1}{1-q}$ si $\vert q\vert< 1$. Ecrire l'amplitude complexe de l'onde à la sortie.

3. Montrer que l'amplitude $\Psi(\varphi)$, exprimée en fonction du déphasage $\varphi$, a un module qui présente une succession périodique de maxima pour $\varphi=\varphi_p$. En déduire que le Pérot-Fabry ne laisse passer que les ondes qui ont un angle incidence voisin de $\theta_p$. Déterminer $\theta_p$. Quels ordres $p$ correspondent aux incidences de l'optique paraxiale (angles $<0.1$ rad) ? A.N.: $\lambda=0.5\mu$m, e=1 mm.

4. On se place dans le cas où $r_1 r_2$ est voisin de 1. Déterminer la largeur à mi-hauteur $\delta\varphi$ des pics (indication : faire $r_1 r_2=1-\varepsilon$ et calculer la largeur de $\vert\Psi(\varphi)\vert$ au voisinage du premier pic $p=0$). Montrer que $\delta\varphi \rightarrow 0$ quand $r_1 r_2\rightarrow 1$ et que $\vert\Psi(\varphi_p)\vert\rightarrow\infty$. En utilisant la formule de Poisson, montrer que $\vert\Psi(\varphi)\vert$ tend vers un peigne de Dirac quand $r_1 r_2\rightarrow 1$.

5. On suppose de nouveau que $r_1 r_2\rightarrow 1$, et on éclaire le Pérot-Fabry par une source ponctuelle située en $(x=y=0, z=-d)$. La longueur d'onde est toujours $\lambda$. Le système étant à symétrie de révolution, on travaille dans le plan $(xOz)$.
   • Quelles sont les composantes du vecteur d'onde local de l'onde sphérique en un point de la face d'entrée du Pérot-Fabry ? Ecrire l'angle d'incidence en fonction de la distance $\rho$ à l'axe optique dans le plan $(xy)$.
   • Que doit vérifier la largeur e pour que l'incidence normale soit transmise ? Dans la suite on suppose cette condition réalisée.
   • Les faces du Pérot-Fabry sont des disques de rayon $R$ dans le plan $(xy)$. A quelle distance d doit-on mettre la source pour n'avoir que l'incidence normale transmise par le Pérot-Fabry ? A.N : $R=2$ cm, mêmes valeurs pour le reste.