Interférences et Fréquences spatiales

Un écran percé de deux trous minuscules est placé sur le trajet d'une onde électromagnétique plane de pulsation  et de vecteur d'onde  (  ). On rappelle qu'une telle onde s'écrit, en notation complexe,  (ça ne sert à rien pour ce problème, c'est juste un rappel). Les deux trous sont séparés d'un écart a. On place à une distance d un écran d'observation E comme sur le schéma ci-dessous.
 

Chacun des deux trous se comporte comme une source secondaire émettant une onde sphérique (on rappelle qu'une onde sphérique s'écrit en un point M :  ,  étant le vecteur qui joint la source de l'onde et le point M).

1. Calculer, en supposant  , l'intensité lumineuse I(x,y) des franges d'interférences observées sur l'écran E (x et y sont  aussi).
   
   
2.  Ecrire le vecteur fréquence spatiale  de cette figure d'interférences.
   
   
3.  Un observateur se place à une distance D de l'écran E. Quel est l'écart angulaire qu'il observe entre deux franges brillantes successives ? En déduire les deux composantes  et  du vecteur fréquence angulaire  de la figure d'interférences. Donner la relation entre  et  .
   
   
4.  On fait tourner les deux trous d'un angle  . Donner l'expression de la fréquence spatiale  du nouveau système de franges I'(x,y). Donner l'expression de I'(x,y).
   
   
5.  On s'intéresse à l'intersection de I'(x,y) avec l'axe des x. Soit g(x) cette fonction. Montrer que g(x) est périodique et calculer sa fréquence spatiale  . Montrer que  est la projection de  sur l'axe des x. Idem pour l'axe y. Montrer que cela ne marche pas avec le ``vecteur période" T.