Interféromètre de Michelson

Un interféromètre de Michelson est éclairé par une onde plane arrivant parallèlement à l'axe optique de l'interféromètre. Les interférences sont observées dans le plan $(E)$ de la figure ci-après, au voisinage de l'axe optique. On pose $OC=d$, $CM_1=a$, $CM_2=a+e$ et $CE=b$. Le décalage réglable $e$ permet de réaliser une différence de marche entre les deux ondes secondaires produites par la séparatrice (On dit dans ce cas que l'interféromètre est réglé en ``teinte plate''). La lame séparatrice est supposée d'épaisseur nulle et de coefficient de réflexion et de transmission en intensité égaux à 0.5 (les deux ondes à la sortie ont une intensité moitié de celle de l'onde incidente). L'onde incidente, supposée parfaitement cohérente est issue d'un laser He-Ne délivrant une longueur d'onde $\lambda=632.8$ nm.

1. On réalise $e=0$. Ecrire l'intensité dans le plan E en fonction de e. Décrire le phénomène observé quand on déplace le miroir $M_2$ Quelle est la différence de marche $\delta$ entre les deux ondes ? Quelles sont les valeurs de $e$ réalisant une interférence constructive ? Destructive ?
2. Ecrire l'intensité $I_0$ au centre de l'écran $E$ en fonction de la variable $\tau=2e/c$. Que représente cette variable (on peut déterminer sa dimension) ? Tracer la courbe $I_0(\tau)$, déterminer sa période.
3. On incline le miroir $M_2$ d'un angle $\theta$ faible autour de l'axe $Oy$ (On dit alors que l'interféromètre est réglé en ``coin d'air'')
   1. Ecrire les vecteurs d'onde $\vec{k}_1$ et $\vec{k}_2$ des deux ondes planes qui interfèrent sur l'écran $E$.
   2. Relier la position d'un point $M$ sur l'écran $E$ au déphasage entre les deux ondes, puis à leur différence de marche $\delta$ et au retard $\tau$ entre les deux ondes. Prédire les points de $E$ où l'on observera une frange brillante et une frange sombre.
   3. Ecrire l'intensité lumineuse sur l'écran $E$, décrire l'aspect du champ d'interférences, l'interfrange.
4. On remplace l'onde plane incidente par une onde sphérique (même longueur d'onde) issue d'une source ponctuelle se trouvant en $O$. Le michelson est réglé en teinte plate. On se place dans l'approximation de Gauss (paraxiale).
   1. On réalise $e=0$. Qu'observe-t'on dans le plan $E$ ?
   2. Ecrire l'intensité en $E$ pour $e\ne 0$. Montrer l'existence d'anneaux d'interférence et calculer l'interfrange (distance entre deux anneaux brillants successifs).