Propagation dans un milieu optiquement actif

Une onde plane monochromatique de pulsation $ \omega$ se propage dans la direction $ \hat z$ au sein d'un milieu diélectrique non absorbant, homogène, isotrope et non magnétique ($ \mu=\mu_0$ ). La permittivité diélectrique est $ \epsilon(\omega)$ . Le milieu est considéré infini dans les directions $ x$ et $ y$ . La relation entre $ \vec D$ et $ \vec E$ dans ce milieu est donnée par

$\displaystyle \vec D = \epsilon(\omega)\: (\vec E\: +\: \alpha\, \vec\nabla \wedge \vec E) $

avec $ \alpha$ un paramètre réel constant ( $ \alpha \simeq 10^{-12}$ S.I.). Ce type de relation est créé par des molécules dites ``chirales'' qui n'admettent pas de centre de symétrie (certaines molécules organiques par exemples). On pose $ v=\omega/k$ , $ \displaystyle v_0=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu_0}}$ et $ \gamma=\alpha k$ .
  1. A l'aide des équations de Maxwell établir les relations

    $ \displaystyle \hat z\wedge \vec E=v\vec B $ $ \displaystyle \hat z\wedge \vec B=-\frac{v}{v_0^2}\:(\vec E+i\gamma \hat z\wedge \vec E) $ $ \displaystyle \hat z\, .\, \vec B=0 $ $ \displaystyle \hat z\, .\, \vec E=0 $

  2. En déduire que

    $ \displaystyle E_z=B_z=0 $ $ \displaystyle \left(\frac{v_0^2}{v^2} -1\right) \: E_x\: =\: -i\gamma E_y $ $ \displaystyle \left(\frac{v_0^2}{v^2} -1\right) \: E_y\: =\: i\gamma E_x $

  3. Montrer, en cherchant les déphasages possibles entre $ E_x$ et $ E_y$ , que les seules ondes qui peuvent se propager dans ce milieu sont polarisées circulairement. Calculer l'écart relatif $ \displaystyle \frac{v_G-v_D}{v_0}$ des vitesses de propagation des polarisations circulaires gauche et droite (dans le domaine optique).

  4. Une onde circulaire gauche arrive sur le milieu sous incidence normale. On appelle $ \vec E_i$ , $ \vec E_r$ et $ \vec E_t$ les champs électriques incident réfléchi et transmis, dans le plan de séparation entre le vide et le milieu. On pose $ n_G=c/v_G$ . A partir des relations de continuité des champs aux interfaces, établir la relation $ \displaystyle \vec E_r=\frac{1-n_G}{1+n_G}\: \vec E_i$ (on utilisera la relation $ \hat z\wedge (\hat z\wedge \vec E)=-\vec E$ ). On admettra que le même type de relation existe pour une onde circulaire droite. Quelle est la polarisation de l'onde réfléchie ?

  5. On suppose que l'onde incidente est polarisée rectilignement suivant $ Ox$ . Montrer que l'onde réfléchie est composée de 2 vibrations circulaires gauche et droite dont on précisera les amplitudes. En déduire qu'il s'agit d'une onde polarisée elliptiquement, avec un rapport entre le petit axe et le grand axe proportionnel à $ \vert n_G-n_D\vert$ . Montrer que l'onde transmise est elle aussi elliptique.

  6. Montrer que, au fur et à mesure de sa propagation dans le milieu, l'onde transmise reste elliptique mais que ses axes tournent d'un angle proportionnel à l'épaisseur traversée (indication: on remarquera que le grand axe correspond aux situations où les champs des ondes circulaires gauche et droite sont dans la même direction).