Propagation dans un plasma
Un milieu homogène et isotrope, de permittivité diélectrique $\epsilon_0$ et de perméabilité magnétique $\mu_0$ contient, par unité de volume, un nombre égal d'ions (charge $+e$ ) et d'électrons. Dans ce milieu se propage une onde plane sinusoïdale caractérisée par sa pulsation $\omega$ et son vecteur d'onde $\vec k$ .

1. Rappeler la relation de dispersion $k(\omega)$ de ce milieu (on appellera $\sigma$ la conductivité).
2. On suppose que les ions sont fixes de sorte que $\sigma$ est uniquement dû aux électrons. On note $m$ la masse de l'électron, $\vec R$ sa position par rapport à un ion, $\vec V$ sa vitesse, $\omega_0$ et $g$ deux constantes positives, et on pose $$\omega_p^2=\frac{n e^2}{m\epsilon_0}$$ ($\omega_p$ est appelée ``pulsation plasma''). Comme dans le modèle de Drude-Lorentz, chaque électron est soumis à une force de rappel $-m\omega_0^2\vec R$ de la part d'un ion, et à une force de frottement $-mg \vec{V}$ .

   Rappeler l'expression de la vitesse $\vec V$ de l'électron en régime forcé, en déduire $\sigma$ et $k^2$ .

3. Le milieu est conducteur (donc $\omega_0=0$ ) et tel que $g<\omega_p$ . La pulsation $\omega$ de l'onde vérifie $\omega\ll g$ et $g\omega\ll \omega_p^2$ . Vérifier que $k^2$ est imaginaire pur et donner l'expression du champ $\vec E$ .
4. Le milieu est toujours conducteur, on a toujours $g<\omega_p$ , mais on suppose cette fois que $\omega \gg \omega_p$ (hautes fréquences). Montrer que le milieu est transparent et non dispersif.
5. On suppose maintenant que le milieu est transparent et non dissipatif ($g=0$ ). On réalise la condition $\omega_0=\omega_p$ . Montrer que la propagation est interdite dans un domaine de pulsations que l'on précisera (faire un graphe $\omega(k)$ ). Calculer les vitesses de phase et de groupe dans ce milieu pour $\omega=2\omega_p$ .